Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54684 / 15074
↖ ↑ ↗
← N 79.826866°
W 29.805908°		 ← 53.93 m → N 79.826866°
W 29.803162°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.826381°
W 29.805908°		 ← 53.94 m →
2 910 m²		 N 79.826381°
W 29.803162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417209625244141 y=0.115009307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417209625244141 × 217)
    floor (0.417209625244141 × 131072)
    floor (54684.5)     		tx = 54684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115009307861328 × 217)
    floor (0.115009307861328 × 131072)
    floor (15074.5)     		ty = 15074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54684 / 15074 ti = "17/54684/15074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54684/15074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54684 ÷ 217
    54684 ÷ 131072     		x = 0.417205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15074 ÷ 217
    15074 ÷ 131072     		y = 0.115005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.16558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52021123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115005493164062 × 2 - 1) × π
    0.769989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41899182862727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52021123} λ = -0.52021123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41899182862727))-π/2
    2×atan(11.2345272747379)-π/2
    2×1.48201898393636-π/2
    2.96403796787272-1.57079632675     		φ = 1.39324164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52021123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.805908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39324164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.826866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54684 KachelY 15074 -0.52021123 1.39324164 -29.805908 79.826866
    Oben rechts KachelX + 1 54685 KachelY 15074 -0.52016330 1.39324164 -29.803162 79.826866
    Unten links KachelX 54684 KachelY + 1 15075 -0.52021123 1.39323317 -29.805908 79.826381
    Unten rechts KachelX + 1 54685 KachelY + 1 15075 -0.52016330 1.39323317 -29.803162 79.826381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39324164-1.39323317) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39324164-1.39323317) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52021123--0.52016330) × cos(1.39324164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176623234591226 × 6371000     		do = 53.9340294599762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52021123--0.52016330) × cos(1.39323317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176631571424076 × 6371000     		du = 53.9365752121789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39324164)-sin(1.39323317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176623234591226-0.176631571424076)×R²
    abs(-0.52016330--0.52021123)×8.33683284953701e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.33683284953701e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.33683284953701e-06×40589641000000     		ar = 2910.47674074603m²