Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54684 / 12732
↖ ↑ ↗
← N 80.902406°
W 29.805908°		 ← 48.28 m → N 80.902406°
W 29.803162°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.901972°
W 29.805908°		 ← 48.29 m →
2 329 m²		 N 80.901972°
W 29.803162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417209625244141 y=0.0971412658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417209625244141 × 217)
    floor (0.417209625244141 × 131072)
    floor (54684.5)     		tx = 54684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971412658691406 × 217)
    floor (0.0971412658691406 × 131072)
    floor (12732.5)     		ty = 12732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54684 / 12732 ti = "17/54684/12732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54684/12732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54684 ÷ 217
    54684 ÷ 131072     		x = 0.417205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12732 ÷ 217
    12732 ÷ 131072     		y = 0.097137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.16558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52021123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097137451171875 × 2 - 1) × π
    0.80572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53126004753745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52021123} λ = -0.52021123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53126004753745))-π/2
    2×atan(12.5693341210742)-π/2
    2×1.4914048407916-π/2
    2.98280968158321-1.57079632675     		φ = 1.41201335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52021123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.805908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41201335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.902406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54684 KachelY 12732 -0.52021123 1.41201335 -29.805908 80.902406
    Oben rechts KachelX + 1 54685 KachelY 12732 -0.52016330 1.41201335 -29.803162 80.902406
    Unten links KachelX 54684 KachelY + 1 12733 -0.52021123 1.41200578 -29.805908 80.901972
    Unten rechts KachelX + 1 54685 KachelY + 1 12733 -0.52016330 1.41200578 -29.803162 80.901972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41201335-1.41200578) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41201335-1.41200578) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52021123--0.52016330) × cos(1.41201335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158116610411554 × 6371000     		do = 48.2828091320209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52021123--0.52016330) × cos(1.41200578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158124085179801 × 6371000     		du = 48.2850916424266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41201335)-sin(1.41200578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158116610411554-0.158124085179801)×R²
    abs(-0.52016330--0.52021123)×7.4747682469456e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4747682469456e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4747682469456e-06×40589641000000     		ar = 2328.66105258001m²