Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54683 / 85390
↖ ↑ ↗
← S 47.779943°
W 29.808655°		 ← 205.24 m → S 47.779943°
W 29.805908°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
S 47.781789°
W 29.808655°		 ← 205.23 m →
42 117 m²		 S 47.781789°
W 29.805908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417201995849609 y=0.651477813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417201995849609 × 217)
    floor (0.417201995849609 × 131072)
    floor (54683.5)     		tx = 54683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651477813720703 × 217)
    floor (0.651477813720703 × 131072)
    floor (85390.5)     		ty = 85390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54683 / 85390 ti = "17/54683/85390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54683/85390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54683 ÷ 217
    54683 ÷ 131072     		x = 0.417198181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85390 ÷ 217
    85390 ÷ 131072     		y = 0.651473999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417198181152344 × 2 - 1) × π
    -0.165603637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52025917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651473999023438 × 2 - 1) × π
    -0.302947998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.951739205056595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52025917} λ = -0.52025917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951739205056595))-π/2
    2×atan(0.386068986085712)-π/2
    2×0.36843949841686-π/2
    0.736878996833719-1.57079632675     		φ = -0.83391733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52025917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.808655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83391733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.779943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54683 KachelY 85390 -0.52025917 -0.83391733 -29.808655 -47.779943
    Oben rechts KachelX + 1 54684 KachelY 85390 -0.52021123 -0.83391733 -29.805908 -47.779943
    Unten links KachelX 54683 KachelY + 1 85391 -0.52025917 -0.83394954 -29.808655 -47.781789
    Unten rechts KachelX + 1 54684 KachelY + 1 85391 -0.52021123 -0.83394954 -29.805908 -47.781789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83391733--0.83394954) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83391733--0.83394954) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52025917--0.52021123) × cos(-0.83391733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671979868628814 × 6371000     		do = 205.239948640924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52025917--0.52021123) × cos(-0.83394954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671956014539426 × 6371000     		du = 205.23266298802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83391733)-sin(-0.83394954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671979868628814-0.671956014539426)×R²
    abs(-0.52021123--0.52025917)×2.38540893876538e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38540893876538e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38540893876538e-05×40589641000000     		ar = 42116.523848455m²