Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54681 / 85385
↖ ↑ ↗
← S 47.770714°
W 29.814148°		 ← 205.28 m → S 47.770714°
W 29.811401°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 47.772560°
W 29.814148°		 ← 205.27 m →
42 137 m²		 S 47.772560°
W 29.811401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417186737060547 y=0.651439666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417186737060547 × 217)
    floor (0.417186737060547 × 131072)
    floor (54681.5)     		tx = 54681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651439666748047 × 217)
    floor (0.651439666748047 × 131072)
    floor (85385.5)     		ty = 85385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54681 / 85385 ti = "17/54681/85385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54681/85385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54681 ÷ 217
    54681 ÷ 131072     		x = 0.417182922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85385 ÷ 217
    85385 ÷ 131072     		y = 0.651435852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417182922363281 × 2 - 1) × π
    -0.165634155273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.52035505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651435852050781 × 2 - 1) × π
    -0.302871704101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.951499520558495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52035505} λ = -0.52035505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951499520558495))-π/2
    2×atan(0.386161531927332)-π/2
    2×0.368520037143009-π/2
    0.737040074286019-1.57079632675     		φ = -0.83375625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52035505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.814148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83375625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.770714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54681 KachelY 85385 -0.52035505 -0.83375625 -29.814148 -47.770714
    Oben rechts KachelX + 1 54682 KachelY 85385 -0.52030711 -0.83375625 -29.811401 -47.770714
    Unten links KachelX 54681 KachelY + 1 85386 -0.52035505 -0.83378847 -29.814148 -47.772560
    Unten rechts KachelX + 1 54682 KachelY + 1 85386 -0.52030711 -0.83378847 -29.811401 -47.772560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83375625--0.83378847) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83375625--0.83378847) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52035505--0.52030711) × cos(-0.83375625) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.672099150831567 × 6371000     		do = 205.276380496444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52035505--0.52030711) × cos(-0.83378847) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.67207529282409 × 6371000     		du = 205.269093646855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83375625)-sin(-0.83378847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672099150831567-0.67207529282409)×R²
    abs(-0.52030711--0.52035505)×2.38580074768402e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38580074768402e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38580074768402e-05×40589641000000     		ar = 42137.0778295964m²