Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5468 / 3547
↖ ↑ ↗
← N 80.247810°
W119.926758°		 ← 206.93 m → N 80.247810°
W119.915772°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
N 80.245948°
W119.926758°		 ← 206.97 m →
42 837 m²		 N 80.245948°
W119.915772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166885375976562 y=0.108261108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166885375976562 × 215)
    floor (0.166885375976562 × 32768)
    floor (5468.5)     		tx = 5468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108261108398438 × 215)
    floor (0.108261108398438 × 32768)
    floor (3547.5)     		ty = 3547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5468 / 3547 ti = "15/5468/3547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5468/3547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5468 ÷ 215
    5468 ÷ 32768     		x = 0.1668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3547 ÷ 215
    3547 ÷ 32768     		y = 0.108245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09311679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108245849609375 × 2 - 1) × π
    0.78350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46146392169064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09311679} λ = -2.09311679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46146392169064))-π/2
    2×atan(11.7219590156976)-π/2
    2×1.48569241142613-π/2
    2.97138482285226-1.57079632675     		φ = 1.40058850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09311679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40058850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.247810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5468 KachelY 3547 -2.09311679 1.40058850 -119.926758 80.247810
    Oben rechts KachelX + 1 5469 KachelY 3547 -2.09292504 1.40058850 -119.915772 80.247810
    Unten links KachelX 5468 KachelY + 1 3548 -2.09311679 1.40055601 -119.926758 80.245948
    Unten rechts KachelX + 1 5469 KachelY + 1 3548 -2.09292504 1.40055601 -119.915772 80.245948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40058850-1.40055601) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dl = 206.993789999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40058850-1.40055601) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dr = 206.993789999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09311679--2.09292504) × cos(1.40058850) × R
    0.000191749999999935 × 0.169387176335067 × 6371000     		do = 206.930023057519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09311679--2.09292504) × cos(1.40055601) × R
    0.000191749999999935 × 0.169419196751676 × 6371000     		du = 206.969140455249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40058850)-sin(1.40055601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169387176335067-0.169419196751676)×R²
    abs(-2.09292504--2.09311679)×3.20204166084082e-05×R²
    0.000191749999999935×3.20204166084082e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.20204166084082e-05×40589641000000     		ar = 42837.278270185m²