Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5468 / 2268
↖ ↑ ↗
← N 82.361644°
W119.926758°		 ← 162.38 m → N 82.361644°
W119.915772°		 →
↑
162.40 m
↓
↑
162.40 m
↓
N 82.360183°
W119.926758°		 ← 162.41 m →
26 373 m²		 N 82.360183°
W119.915772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166885375976562 y=0.0692291259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166885375976562 × 215)
    floor (0.166885375976562 × 32768)
    floor (5468.5)     		tx = 5468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0692291259765625 × 215)
    floor (0.0692291259765625 × 32768)
    floor (2268.5)     		ty = 2268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5468 / 2268 ti = "15/5468/2268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5468/2268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5468 ÷ 215
    5468 ÷ 32768     		x = 0.1668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2268 ÷ 215
    2268 ÷ 32768     		y = 0.0692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09311679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0692138671875 × 2 - 1) × π
    0.861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70670910014685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09311679} λ = -2.09311679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70670910014685))-π/2
    2×atan(14.9798969687798)-π/2
    2×1.50413909270971-π/2
    3.00827818541943-1.57079632675     		φ = 1.43748186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09311679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43748186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.361644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5468 KachelY 2268 -2.09311679 1.43748186 -119.926758 82.361644
    Oben rechts KachelX + 1 5469 KachelY 2268 -2.09292504 1.43748186 -119.915772 82.361644
    Unten links KachelX 5468 KachelY + 1 2269 -2.09311679 1.43745637 -119.926758 82.360183
    Unten rechts KachelX + 1 5469 KachelY + 1 2269 -2.09292504 1.43745637 -119.915772 82.360183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43748186-1.43745637) × R
    2.54899999998504e-05 × 6371000     		dl = 162.396789999047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43748186-1.43745637) × R
    2.54899999998504e-05 × 6371000     		dr = 162.396789999047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09311679--2.09292504) × cos(1.43748186) × R
    0.000191749999999935 × 0.132919923514482 × 6371000     		do = 162.380195672234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09311679--2.09292504) × cos(1.43745637) × R
    0.000191749999999935 × 0.132945187292918 × 6371000     		du = 162.411058895575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43748186)-sin(1.43745637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132919923514482-0.132945187292918)×R²
    abs(-2.09292504--2.09311679)×2.52637784363408e-05×R²
    0.000191749999999935×2.52637784363408e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.52637784363408e-05×40589641000000     		ar = 26372.5285818779m²