Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54678 / 85386
↖ ↑ ↗
← S 47.772560°
W 29.822388°		 ← 205.27 m → S 47.772560°
W 29.819641°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 47.774406°
W 29.822388°		 ← 205.26 m →
42 136 m²		 S 47.774406°
W 29.819641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417163848876953 y=0.651447296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417163848876953 × 217)
    floor (0.417163848876953 × 131072)
    floor (54678.5)     		tx = 54678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651447296142578 × 217)
    floor (0.651447296142578 × 131072)
    floor (85386.5)     		ty = 85386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54678 / 85386 ti = "17/54678/85386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54678/85386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54678 ÷ 217
    54678 ÷ 131072     		x = 0.417160034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85386 ÷ 217
    85386 ÷ 131072     		y = 0.651443481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417160034179688 × 2 - 1) × π
    -0.165679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52049886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.302886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.951547457458115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52049886} λ = -0.52049886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951547457458115))-π/2
    2×atan(0.386143020984421)-π/2
    2×0.36850392825419-π/2
    0.73700785650838-1.57079632675     		φ = -0.83378847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52049886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.822388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83378847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.772560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54678 KachelY 85386 -0.52049886 -0.83378847 -29.822388 -47.772560
    Oben rechts KachelX + 1 54679 KachelY 85386 -0.52045092 -0.83378847 -29.819641 -47.772560
    Unten links KachelX 54678 KachelY + 1 85387 -0.52049886 -0.83382069 -29.822388 -47.774406
    Unten rechts KachelX + 1 54679 KachelY + 1 85387 -0.52045092 -0.83382069 -29.819641 -47.774406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83378847--0.83382069) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83378847--0.83382069) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52049886--0.52045092) × cos(-0.83378847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67207529282409 × 6371000     		do = 205.26909364638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52049886--0.52045092) × cos(-0.83382069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672051434118912 × 6371000     		du = 205.261806583695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83378847)-sin(-0.83382069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67207529282409-0.672051434118912)×R²
    abs(-0.52045092--0.52049886)×2.38587051772932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38587051772932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38587051772932e-05×40589641000000     		ar = 42135.5820097099m²