Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54678 / 15067
↖ ↑ ↗
← N 79.830261°
W 29.822388°		 ← 53.93 m → N 79.830261°
W 29.819641°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.829776°
W 29.822388°		 ← 53.93 m →
2 910 m²		 N 79.829776°
W 29.819641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417163848876953 y=0.114955902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417163848876953 × 217)
    floor (0.417163848876953 × 131072)
    floor (54678.5)     		tx = 54678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114955902099609 × 217)
    floor (0.114955902099609 × 131072)
    floor (15067.5)     		ty = 15067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54678 / 15067 ti = "17/54678/15067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54678/15067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54678 ÷ 217
    54678 ÷ 131072     		x = 0.417160034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15067 ÷ 217
    15067 ÷ 131072     		y = 0.114952087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417160034179688 × 2 - 1) × π
    -0.165679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52049886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114952087402344 × 2 - 1) × π
    0.770095825195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.41932738692461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52049886} λ = -0.52049886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41932738692461))-π/2
    2×atan(11.2382977461528)-π/2
    2×1.48204861273889-π/2
    2.96409722547778-1.57079632675     		φ = 1.39330090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52049886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.822388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39330090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.830261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54678 KachelY 15067 -0.52049886 1.39330090 -29.822388 79.830261
    Oben rechts KachelX + 1 54679 KachelY 15067 -0.52045092 1.39330090 -29.819641 79.830261
    Unten links KachelX 54678 KachelY + 1 15068 -0.52049886 1.39329243 -29.822388 79.829776
    Unten rechts KachelX + 1 54679 KachelY + 1 15068 -0.52045092 1.39329243 -29.819641 79.829776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39330090-1.39329243) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39330090-1.39329243) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52049886--0.52045092) × cos(1.39330090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176564905935192 × 6371000     		do = 53.9274670532511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52049886--0.52045092) × cos(1.39329243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176573242856682 × 6371000     		du = 53.9300133636665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39330090)-sin(1.39329243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176564905935192-0.176573242856682)×R²
    abs(-0.52045092--0.52049886)×8.33692148990983e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.33692148990983e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.33692148990983e-06×40589641000000     		ar = 2910.12263274749m²