Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54677 / 42773
↖ ↑ ↗
← N 52.874103°
W 29.825134°		 ← 184.31 m → N 52.874103°
W 29.822388°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 52.872446°
W 29.825134°		 ← 184.31 m →
33 971 m²		 N 52.872446°
W 29.822388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417156219482422 y=0.326335906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417156219482422 × 217)
    floor (0.417156219482422 × 131072)
    floor (54677.5)     		tx = 54677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326335906982422 × 217)
    floor (0.326335906982422 × 131072)
    floor (42773.5)     		ty = 42773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54677 / 42773 ti = "17/54677/42773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54677/42773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54677 ÷ 217
    54677 ÷ 131072     		x = 0.417152404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42773 ÷ 217
    42773 ÷ 131072     		y = 0.326332092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417152404785156 × 2 - 1) × π
    -0.165695190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.52054679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326332092285156 × 2 - 1) × π
    0.347335815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09118764605134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52054679} λ = -0.52054679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09118764605134))-π/2
    2×atan(2.97780855586306)-π/2
    2×1.24681175888049-π/2
    2.49362351776098-1.57079632675     		φ = 0.92282719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52054679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.825134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92282719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.874103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54677 KachelY 42773 -0.52054679 0.92282719 -29.825134 52.874103
    Oben rechts KachelX + 1 54678 KachelY 42773 -0.52049886 0.92282719 -29.822388 52.874103
    Unten links KachelX 54677 KachelY + 1 42774 -0.52054679 0.92279826 -29.825134 52.872446
    Unten rechts KachelX + 1 54678 KachelY + 1 42774 -0.52049886 0.92279826 -29.822388 52.872446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92282719-0.92279826) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92282719-0.92279826) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52054679--0.52049886) × cos(0.92282719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603568421536136 × 6371000     		do = 184.306878444283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52054679--0.52049886) × cos(0.92279826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603591487496769 × 6371000     		du = 184.313921912846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92282719)-sin(0.92279826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603568421536136-0.603591487496769)×R²
    abs(-0.52049886--0.52054679)×2.30659606333949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30659606333949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30659606333949e-05×40589641000000     		ar = 33970.8083199586m²