Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54674 / 18991
↖ ↑ ↗
← N 77.740201°
W 29.833374°		 ← 64.84 m → N 77.740201°
W 29.830628°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.739618°
W 29.833374°		 ← 64.85 m →
4 206 m²		 N 77.739618°
W 29.830628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417133331298828 y=0.144893646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417133331298828 × 217)
    floor (0.417133331298828 × 131072)
    floor (54674.5)     		tx = 54674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144893646240234 × 217)
    floor (0.144893646240234 × 131072)
    floor (18991.5)     		ty = 18991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54674 / 18991 ti = "17/54674/18991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54674/18991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54674 ÷ 217
    54674 ÷ 131072     		x = 0.417129516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18991 ÷ 217
    18991 ÷ 131072     		y = 0.144889831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417129516601562 × 2 - 1) × π
    -0.165740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52069060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144889831542969 × 2 - 1) × π
    0.710220336914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.23122299281551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52069060} λ = -0.52069060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23122299281551))-π/2
    2×atan(9.31124670667817)-π/2
    2×1.4638093984275-π/2
    2.92761879685501-1.57079632675     		φ = 1.35682247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52069060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.833374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35682247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.740201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54674 KachelY 18991 -0.52069060 1.35682247 -29.833374 77.740201
    Oben rechts KachelX + 1 54675 KachelY 18991 -0.52064267 1.35682247 -29.830628 77.740201
    Unten links KachelX 54674 KachelY + 1 18992 -0.52069060 1.35681229 -29.833374 77.739618
    Unten rechts KachelX + 1 54675 KachelY + 1 18992 -0.52064267 1.35681229 -29.830628 77.739618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35682247-1.35681229) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dl = 64.8567800005211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35682247-1.35681229) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dr = 64.8567800005211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52069060--0.52064267) × cos(1.35682247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212344798464059 × 6371000     		do = 64.8420387189658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52069060--0.52064267) × cos(1.35681229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21235474629617 × 6371000     		du = 64.845076409173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35682247)-sin(1.35681229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212344798464059-0.21235474629617)×R²
    abs(-0.52064267--0.52069060)×9.94783211008543e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.94783211008543e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.94783211008543e-06×40589641000000     		ar = 4205.5443474926m²