Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54673 / 42755
↖ ↑ ↗
← N 52.903933°
W 29.836121°		 ← 184.22 m → N 52.903933°
W 29.833374°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
N 52.902276°
W 29.836121°		 ← 184.23 m →
33 931 m²		 N 52.902276°
W 29.833374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417125701904297 y=0.326198577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417125701904297 × 217)
    floor (0.417125701904297 × 131072)
    floor (54673.5)     		tx = 54673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326198577880859 × 217)
    floor (0.326198577880859 × 131072)
    floor (42755.5)     		ty = 42755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54673 / 42755 ti = "17/54673/42755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54673/42755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54673 ÷ 217
    54673 ÷ 131072     		x = 0.417121887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42755 ÷ 217
    42755 ÷ 131072     		y = 0.326194763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417121887207031 × 2 - 1) × π
    -0.165756225585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.52073854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326194763183594 × 2 - 1) × π
    0.347610473632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0920505102445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52073854} λ = -0.52073854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0920505102445))-π/2
    2×atan(2.98037910909969)-π/2
    2×1.24707206810502-π/2
    2.49414413621004-1.57079632675     		φ = 0.92334781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52073854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.836121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92334781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.903933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54673 KachelY 42755 -0.52073854 0.92334781 -29.836121 52.903933
    Oben rechts KachelX + 1 54674 KachelY 42755 -0.52069060 0.92334781 -29.833374 52.903933
    Unten links KachelX 54673 KachelY + 1 42756 -0.52073854 0.92331890 -29.836121 52.902276
    Unten rechts KachelX + 1 54674 KachelY + 1 42756 -0.52069060 0.92331890 -29.833374 52.902276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92334781-0.92331890) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92334781-0.92331890) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52073854--0.52069060) × cos(0.92334781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603153243597236 × 6371000     		do = 184.218525758965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52073854--0.52069060) × cos(0.92331890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603176302693427 × 6371000     		du = 184.225568600483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92334781)-sin(0.92331890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603153243597236-0.603176302693427)×R²
    abs(-0.52069060--0.52073854)×2.3059096190825e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3059096190825e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3059096190825e-05×40589641000000     		ar = 33931.0501376023m²