Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54672 / 18992
↖ ↑ ↗
← N 77.739618°
W 29.838867°		 ← 64.86 m → N 77.739618°
W 29.836121°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.739035°
W 29.838867°		 ← 64.86 m →
4 207 m²		 N 77.739035°
W 29.836121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417118072509766 y=0.144901275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417118072509766 × 217)
    floor (0.417118072509766 × 131072)
    floor (54672.5)     		tx = 54672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144901275634766 × 217)
    floor (0.144901275634766 × 131072)
    floor (18992.5)     		ty = 18992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54672 / 18992 ti = "17/54672/18992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54672/18992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54672 ÷ 217
    54672 ÷ 131072     		x = 0.4171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18992 ÷ 217
    18992 ÷ 131072     		y = 0.1448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1448974609375 × 2 - 1) × π
    0.710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23117505591589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52078648} λ = -0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23117505591589))-π/2
    2×atan(9.31080036507766)-π/2
    2×1.46380430873265-π/2
    2.9276086174653-1.57079632675     		φ = 1.35681229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35681229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.739618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54672 KachelY 18992 -0.52078648 1.35681229 -29.838867 77.739618
    Oben rechts KachelX + 1 54673 KachelY 18992 -0.52073854 1.35681229 -29.836121 77.739618
    Unten links KachelX 54672 KachelY + 1 18993 -0.52078648 1.35680211 -29.838867 77.739035
    Unten rechts KachelX + 1 54673 KachelY + 1 18993 -0.52073854 1.35680211 -29.836121 77.739035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35681229-1.35680211) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dl = 64.8567799991064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35681229-1.35680211) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dr = 64.8567799991064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52078648--0.52073854) × cos(1.35681229) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21235474629617 × 6371000     		do = 64.8586055301275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52078648--0.52073854) × cos(1.35680211) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212364694106273 × 6371000     		du = 64.8616438473896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35681229)-sin(1.35680211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21235474629617-0.212364694106273)×R²
    abs(-0.52073854--0.52078648)×9.94781010299484e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.94781010299484e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.94781010299484e-06×40589641000000     		ar = 4206.61883776097m²