Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54671 / 15069
↖ ↑ ↗
← N 79.829291°
W 29.841614°		 ← 53.92 m → N 79.829291°
W 29.838867°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.828806°
W 29.841614°		 ← 53.92 m →
2 906 m²		 N 79.828806°
W 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417110443115234 y=0.114971160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417110443115234 × 217)
    floor (0.417110443115234 × 131072)
    floor (54671.5)     		tx = 54671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114971160888672 × 217)
    floor (0.114971160888672 × 131072)
    floor (15069.5)     		ty = 15069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54671 / 15069 ti = "17/54671/15069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54671/15069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54671 ÷ 217
    54671 ÷ 131072     		x = 0.417106628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15069 ÷ 217
    15069 ÷ 131072     		y = 0.114967346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417106628417969 × 2 - 1) × π
    -0.165786743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52083441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114967346191406 × 2 - 1) × π
    0.770065307617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.41923151312537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52083441} λ = -0.52083441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41923151312537))-π/2
    2×atan(11.2372203394992)-π/2
    2×1.48204014836528-π/2
    2.96408029673056-1.57079632675     		φ = 1.39328397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52083441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.841614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39328397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.829291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54671 KachelY 15069 -0.52083441 1.39328397 -29.841614 79.829291
    Oben rechts KachelX + 1 54672 KachelY 15069 -0.52078648 1.39328397 -29.838867 79.829291
    Unten links KachelX 54671 KachelY + 1 15070 -0.52083441 1.39327551 -29.841614 79.828806
    Unten rechts KachelX + 1 54672 KachelY + 1 15070 -0.52078648 1.39327551 -29.838867 79.828806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39328397-1.39327551) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dl = 53.8986599992157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39328397-1.39327551) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dr = 53.8986599992157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52083441--0.52078648) × cos(1.39328397) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.176581569922645 × 6371000     		do = 53.9213066520738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52083441--0.52078648) × cos(1.39327551) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.176589896975968 × 6371000     		du = 53.9238494179807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39328397)-sin(1.39327551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176581569922645-0.176589896975968)×R²
    abs(-0.52078648--0.52083441)×8.32705332390327e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.32705332390327e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.32705332390327e-06×40589641000000     		ar = 2906.35469968821m²