Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54671 / 13965
↖ ↑ ↗
← N 80.351013°
W 29.841614°		 ← 51.18 m → N 80.351013°
W 29.838867°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.350552°
W 29.841614°		 ← 51.18 m →
2 622 m²		 N 80.350552°
W 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417110443115234 y=0.106548309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417110443115234 × 217)
    floor (0.417110443115234 × 131072)
    floor (54671.5)     		tx = 54671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106548309326172 × 217)
    floor (0.106548309326172 × 131072)
    floor (13965.5)     		ty = 13965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54671 / 13965 ti = "17/54671/13965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54671/13965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54671 ÷ 217
    54671 ÷ 131072     		x = 0.417106628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13965 ÷ 217
    13965 ÷ 131072     		y = 0.106544494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417106628417969 × 2 - 1) × π
    -0.165786743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52083441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106544494628906 × 2 - 1) × π
    0.786911010742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.47215385030592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52083441} λ = -0.52083441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47215385030592))-π/2
    2×atan(11.8479380746991)-π/2
    2×1.48659302684091-π/2
    2.97318605368182-1.57079632675     		φ = 1.40238973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52083441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.841614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40238973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.351013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54671 KachelY 13965 -0.52083441 1.40238973 -29.841614 80.351013
    Oben rechts KachelX + 1 54672 KachelY 13965 -0.52078648 1.40238973 -29.838867 80.351013
    Unten links KachelX 54671 KachelY + 1 13966 -0.52083441 1.40238169 -29.841614 80.350552
    Unten rechts KachelX + 1 54672 KachelY + 1 13966 -0.52078648 1.40238169 -29.838867 80.350552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40238973-1.40238169) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40238973-1.40238169) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52083441--0.52078648) × cos(1.40238973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.167611701033695 × 6371000     		do = 51.1822492793149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52083441--0.52078648) × cos(1.40238169) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.167619627287131 × 6371000     		du = 51.1846696561546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40238973)-sin(1.40238169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167611701033695-0.167619627287131)×R²
    abs(-0.52078648--0.52083441)×7.92625343681852e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.92625343681852e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.92625343681852e-06×40589641000000     		ar = 2621.76215498795m²