Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54670 / 13966
↖ ↑ ↗
← N 80.350552°
W 29.844360°		 ← 51.20 m → N 80.350552°
W 29.841614°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
N 80.350092°
W 29.844360°		 ← 51.20 m →
2 619 m²		 N 80.350092°
W 29.841614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417102813720703 y=0.106555938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417102813720703 × 217)
    floor (0.417102813720703 × 131072)
    floor (54670.5)     		tx = 54670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106555938720703 × 217)
    floor (0.106555938720703 × 131072)
    floor (13966.5)     		ty = 13966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54670 / 13966 ti = "17/54670/13966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54670/13966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54670 ÷ 217
    54670 ÷ 131072     		x = 0.417098999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13966 ÷ 217
    13966 ÷ 131072     		y = 0.106552124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417098999023438 × 2 - 1) × π
    -0.165802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52088235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106552124023438 × 2 - 1) × π
    0.786895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4721059134063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52088235} λ = -0.52088235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4721059134063))-π/2
    2×atan(11.8473701348937)-π/2
    2×1.48658900935326-π/2
    2.97317801870652-1.57079632675     		φ = 1.40238169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52088235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.844360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40238169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.350552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54670 KachelY 13966 -0.52088235 1.40238169 -29.844360 80.350552
    Oben rechts KachelX + 1 54671 KachelY 13966 -0.52083441 1.40238169 -29.841614 80.350552
    Unten links KachelX 54670 KachelY + 1 13967 -0.52088235 1.40237366 -29.844360 80.350092
    Unten rechts KachelX + 1 54671 KachelY + 1 13967 -0.52083441 1.40237366 -29.841614 80.350092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40238169-1.40237366) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dl = 51.1591299988894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40238169-1.40237366) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dr = 51.1591299988894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52088235--0.52083441) × cos(1.40238169) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167619627287131 × 6371000     		do = 51.1953487027813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52088235--0.52083441) × cos(1.40237366) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167627543671229 × 6371000     		du = 51.1977665702524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40238169)-sin(1.40237366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167619627287131-0.167627543671229)×R²
    abs(-0.52083441--0.52088235)×7.91638409750051e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.91638409750051e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.91638409750051e-06×40589641000000     		ar = 2619.171347535m²