Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54670 / 13961
↖ ↑ ↗
← N 80.352854°
W 29.844360°		 ← 51.18 m → N 80.352854°
W 29.841614°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
N 80.352394°
W 29.844360°		 ← 51.19 m →
2 619 m²		 N 80.352394°
W 29.841614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417102813720703 y=0.106517791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417102813720703 × 217)
    floor (0.417102813720703 × 131072)
    floor (54670.5)     		tx = 54670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106517791748047 × 217)
    floor (0.106517791748047 × 131072)
    floor (13961.5)     		ty = 13961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54670 / 13961 ti = "17/54670/13961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54670/13961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54670 ÷ 217
    54670 ÷ 131072     		x = 0.417098999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13961 ÷ 217
    13961 ÷ 131072     		y = 0.106513977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417098999023438 × 2 - 1) × π
    -0.165802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52088235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106513977050781 × 2 - 1) × π
    0.786972045898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.4723455979044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52088235} λ = -0.52088235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4723455979044))-π/2
    2×atan(11.8502101061932)-π/2
    2×1.48660909489302-π/2
    2.97321818978603-1.57079632675     		φ = 1.40242186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52088235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.844360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40242186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.352854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54670 KachelY 13961 -0.52088235 1.40242186 -29.844360 80.352854
    Oben rechts KachelX + 1 54671 KachelY 13961 -0.52083441 1.40242186 -29.841614 80.352854
    Unten links KachelX 54670 KachelY + 1 13962 -0.52088235 1.40241383 -29.844360 80.352394
    Unten rechts KachelX + 1 54671 KachelY + 1 13962 -0.52083441 1.40241383 -29.841614 80.352394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40242186-1.40241383) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dl = 51.159130000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40242186-1.40241383) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dr = 51.159130000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52088235--0.52083441) × cos(1.40242186) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16758002548736 × 6371000     		do = 51.1832532937807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52088235--0.52083441) × cos(1.40241383) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167587941925521 × 6371000     		du = 51.1856711777641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40242186)-sin(1.40241383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16758002548736-0.167587941925521)×R²
    abs(-0.52083441--0.52088235)×7.91643816083765e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.91643816083765e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.91643816083765e-06×40589641000000     		ar = 2618.55255746285m²