Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54669 / 13977
↖ ↑ ↗
← N 80.345487°
W 29.847107°		 ← 51.22 m → N 80.345487°
W 29.844360°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.345026°
W 29.847107°		 ← 51.22 m →
2 624 m²		 N 80.345026°
W 29.844360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417095184326172 y=0.106639862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417095184326172 × 217)
    floor (0.417095184326172 × 131072)
    floor (54669.5)     		tx = 54669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106639862060547 × 217)
    floor (0.106639862060547 × 131072)
    floor (13977.5)     		ty = 13977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54669 / 13977 ti = "17/54669/13977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54669/13977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54669 ÷ 217
    54669 ÷ 131072     		x = 0.417091369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13977 ÷ 217
    13977 ÷ 131072     		y = 0.106636047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417091369628906 × 2 - 1) × π
    -0.165817260742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52093029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106636047363281 × 2 - 1) × π
    0.786727905273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.47157860751048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52093029} λ = -0.52093029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47157860751048))-π/2
    2×atan(11.8411245935717)-π/2
    2×1.48654480445609-π/2
    2.97308960891218-1.57079632675     		φ = 1.40229328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52093029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.847107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40229328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.345487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54669 KachelY 13977 -0.52093029 1.40229328 -29.847107 80.345487
    Oben rechts KachelX + 1 54670 KachelY 13977 -0.52088235 1.40229328 -29.844360 80.345487
    Unten links KachelX 54669 KachelY + 1 13978 -0.52093029 1.40228524 -29.847107 80.345026
    Unten rechts KachelX + 1 54670 KachelY + 1 13978 -0.52088235 1.40228524 -29.844360 80.345026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40229328-1.40228524) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40229328-1.40228524) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52093029--0.52088235) × cos(1.40229328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167706785784593 × 6371000     		do = 51.2219691512472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52093029--0.52088235) × cos(1.40228524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167714711908014 × 6371000     		du = 51.2243899933584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40229328)-sin(1.40228524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167706785784593-0.167714711908014)×R²
    abs(-0.52088235--0.52093029)×7.9261234210426e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.9261234210426e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.9261234210426e-06×40589641000000     		ar = 2623.79673164331m²