Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54668 / 13963
↖ ↑ ↗
← N 80.351934°
W 29.849854°		 ← 51.19 m → N 80.351934°
W 29.847107°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.351473°
W 29.849854°		 ← 51.19 m →
2 622 m²		 N 80.351473°
W 29.847107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417087554931641 y=0.106533050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417087554931641 × 217)
    floor (0.417087554931641 × 131072)
    floor (54668.5)     		tx = 54668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106533050537109 × 217)
    floor (0.106533050537109 × 131072)
    floor (13963.5)     		ty = 13963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54668 / 13963 ti = "17/54668/13963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54668/13963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54668 ÷ 217
    54668 ÷ 131072     		x = 0.417083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13963 ÷ 217
    13963 ÷ 131072     		y = 0.106529235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106529235839844 × 2 - 1) × π
    0.786941528320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.47224972410516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52097823} λ = -0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47224972410516))-π/2
    2×atan(11.8490740359891)-π/2
    2×1.48660106124664-π/2
    2.97320212249328-1.57079632675     		φ = 1.40240580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40240580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.351934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54668 KachelY 13963 -0.52097823 1.40240580 -29.849854 80.351934
    Oben rechts KachelX + 1 54669 KachelY 13963 -0.52093029 1.40240580 -29.847107 80.351934
    Unten links KachelX 54668 KachelY + 1 13964 -0.52097823 1.40239776 -29.849854 80.351473
    Unten rechts KachelX + 1 54669 KachelY + 1 13964 -0.52093029 1.40239776 -29.847107 80.351473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40240580-1.40239776) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40240580-1.40239776) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52097823--0.52093029) × cos(1.40240580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167595858352875 × 6371000     		do = 51.1880890583286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52097823--0.52093029) × cos(1.40239776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167603784627967 × 6371000     		du = 51.190509946764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40240580)-sin(1.40239776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167595858352875-0.167603784627967)×R²
    abs(-0.52093029--0.52097823)×7.92627509221822e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.92627509221822e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.92627509221822e-06×40589641000000     		ar = 2622.06129807162m²