Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54667 / 15070
↖ ↑ ↗
← N 79.828806°
W 29.852600°		 ← 53.92 m → N 79.828806°
W 29.849854°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.828321°
W 29.852600°		 ← 53.93 m →
2 910 m²		 N 79.828321°
W 29.849854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417079925537109 y=0.114978790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417079925537109 × 217)
    floor (0.417079925537109 × 131072)
    floor (54667.5)     		tx = 54667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114978790283203 × 217)
    floor (0.114978790283203 × 131072)
    floor (15070.5)     		ty = 15070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54667 / 15070 ti = "17/54667/15070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54667/15070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54667 ÷ 217
    54667 ÷ 131072     		x = 0.417076110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15070 ÷ 217
    15070 ÷ 131072     		y = 0.114974975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417076110839844 × 2 - 1) × π
    -0.165847778320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52102616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114974975585938 × 2 - 1) × π
    0.770050048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41918357622575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52102616} λ = -0.52102616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41918357622575))-π/2
    2×atan(11.2366816749069)-π/2
    2×1.48203591587893-π/2
    2.96407183175786-1.57079632675     		φ = 1.39327551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52102616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.852600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39327551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.828806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54667 KachelY 15070 -0.52102616 1.39327551 -29.852600 79.828806
    Oben rechts KachelX + 1 54668 KachelY 15070 -0.52097823 1.39327551 -29.849854 79.828806
    Unten links KachelX 54667 KachelY + 1 15071 -0.52102616 1.39326704 -29.852600 79.828321
    Unten rechts KachelX + 1 54668 KachelY + 1 15071 -0.52097823 1.39326704 -29.849854 79.828321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39327551-1.39326704) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39327551-1.39326704) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52102616--0.52097823) × cos(1.39327551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176589896975968 × 6371000     		do = 53.9238494181056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52102616--0.52097823) × cos(1.39326704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176598233859484 × 6371000     		du = 53.9263951857797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39327551)-sin(1.39326704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176589896975968-0.176598233859484)×R²
    abs(-0.52097823--0.52102616)×8.33688351542516e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.33688351542516e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.33688351542516e-06×40589641000000     		ar = 2909.92740204853m²