Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54667 / 13970
↖ ↑ ↗
← N 80.348711°
W 29.852600°		 ← 51.19 m → N 80.348711°
W 29.849854°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.348250°
W 29.852600°		 ← 51.20 m →
2 622 m²		 N 80.348250°
W 29.849854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417079925537109 y=0.106586456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417079925537109 × 217)
    floor (0.417079925537109 × 131072)
    floor (54667.5)     		tx = 54667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106586456298828 × 217)
    floor (0.106586456298828 × 131072)
    floor (13970.5)     		ty = 13970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54667 / 13970 ti = "17/54667/13970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54667/13970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54667 ÷ 217
    54667 ÷ 131072     		x = 0.417076110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13970 ÷ 217
    13970 ÷ 131072     		y = 0.106582641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417076110839844 × 2 - 1) × π
    -0.165847778320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52102616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106582641601562 × 2 - 1) × π
    0.786834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47191416580782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52102616} λ = -0.52102616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47191416580782))-π/2
    2×atan(11.845098647905)-π/2
    2×1.48657293750393-π/2
    2.97314587500786-1.57079632675     		φ = 1.40234955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52102616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.852600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40234955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.348711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54667 KachelY 13970 -0.52102616 1.40234955 -29.852600 80.348711
    Oben rechts KachelX + 1 54668 KachelY 13970 -0.52097823 1.40234955 -29.849854 80.348711
    Unten links KachelX 54667 KachelY + 1 13971 -0.52102616 1.40234151 -29.852600 80.348250
    Unten rechts KachelX + 1 54668 KachelY + 1 13971 -0.52097823 1.40234151 -29.849854 80.348250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40234955-1.40234151) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40234955-1.40234151) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52102616--0.52097823) × cos(1.40234955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167651312475594 × 6371000     		do = 51.1943451097432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52102616--0.52097823) × cos(1.40234151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167659238674877 × 6371000     		du = 51.1967654700463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40234955)-sin(1.40234151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167651312475594-0.167659238674877)×R²
    abs(-0.52097823--0.52102616)×7.92619928266514e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.92619928266514e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.92619928266514e-06×40589641000000     		ar = 2622.38173740192m²