Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54651 / 85157
↖ ↑ ↗
← S 47.348128°
W 29.896545°		 ← 206.90 m → S 47.348128°
W 29.893799°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
S 47.349989°
W 29.896545°		 ← 206.89 m →
42 812 m²		 S 47.349989°
W 29.893799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416957855224609 y=0.649700164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416957855224609 × 217)
    floor (0.416957855224609 × 131072)
    floor (54651.5)     		tx = 54651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649700164794922 × 217)
    floor (0.649700164794922 × 131072)
    floor (85157.5)     		ty = 85157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54651 / 85157 ti = "17/54651/85157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54651/85157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54651 ÷ 217
    54651 ÷ 131072     		x = 0.416954040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85157 ÷ 217
    85157 ÷ 131072     		y = 0.649696350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416954040527344 × 2 - 1) × π
    -0.166091918945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52179315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649696350097656 × 2 - 1) × π
    -0.299392700195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.940569907445122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52179315} λ = -0.52179315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940569907445122))-π/2
    2×atan(0.390405277071715)-π/2
    2×0.372207798058421-π/2
    0.744415596116843-1.57079632675     		φ = -0.82638073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52179315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.896545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82638073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.348128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54651 KachelY 85157 -0.52179315 -0.82638073 -29.896545 -47.348128
    Oben rechts KachelX + 1 54652 KachelY 85157 -0.52174522 -0.82638073 -29.893799 -47.348128
    Unten links KachelX 54651 KachelY + 1 85158 -0.52179315 -0.82641321 -29.896545 -47.349989
    Unten rechts KachelX + 1 54652 KachelY + 1 85158 -0.52174522 -0.82641321 -29.893799 -47.349989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82638073--0.82641321) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82638073--0.82641321) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52179315--0.52174522) × cos(-0.82638073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677542106981111 × 6371000     		do = 206.895633198356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52179315--0.52174522) × cos(-0.82641321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677518218103872 × 6371000     		du = 206.888338442308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82638073)-sin(-0.82641321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677542106981111-0.677518218103872)×R²
    abs(-0.52174522--0.52179315)×2.38888772390311e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38888772390311e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38888772390311e-05×40589641000000     		ar = 42812.1751810892m²