Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54651 / 13951
↖ ↑ ↗
← N 80.357456°
W 29.896545°		 ← 51.15 m → N 80.357456°
W 29.893799°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
N 80.356996°
W 29.896545°		 ← 51.15 m →
2 617 m²		 N 80.356996°
W 29.893799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416957855224609 y=0.106441497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416957855224609 × 217)
    floor (0.416957855224609 × 131072)
    floor (54651.5)     		tx = 54651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106441497802734 × 217)
    floor (0.106441497802734 × 131072)
    floor (13951.5)     		ty = 13951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54651 / 13951 ti = "17/54651/13951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54651/13951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54651 ÷ 217
    54651 ÷ 131072     		x = 0.416954040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13951 ÷ 217
    13951 ÷ 131072     		y = 0.106437683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416954040527344 × 2 - 1) × π
    -0.166091918945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52179315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106437683105469 × 2 - 1) × π
    0.787124633789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.4728249669006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52179315} λ = -0.52179315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4728249669006))-π/2
    2×atan(11.8558920912915)-π/2
    2×1.48664925173696-π/2
    2.97329850347391-1.57079632675     		φ = 1.40250218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52179315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.896545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40250218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.357456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54651 KachelY 13951 -0.52179315 1.40250218 -29.896545 80.357456
    Oben rechts KachelX + 1 54652 KachelY 13951 -0.52174522 1.40250218 -29.893799 80.357456
    Unten links KachelX 54651 KachelY + 1 13952 -0.52179315 1.40249415 -29.896545 80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 54652 KachelY + 1 13952 -0.52174522 1.40249415 -29.893799 80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40250218-1.40249415) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dl = 51.1591299988894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40250218-1.40249415) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dr = 51.1591299988894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52179315--0.52174522) × cos(1.40250218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167500840794083 × 6371000     		do = 51.1483967716195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52179315--0.52174522) × cos(1.40249415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 51.1508141842443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40250218)-sin(1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167500840794083-0.167508757340305)×R²
    abs(-0.52174522--0.52179315)×7.9165462216757e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.9165462216757e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.9165462216757e-06×40589641000000     		ar = 2616.76931617452m²