Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54645 / 13948
↖ ↑ ↗
← N 80.358835°
W 29.913025°		 ← 51.14 m → N 80.358835°
W 29.910279°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
N 80.358375°
W 29.913025°		 ← 51.14 m →
2 616 m²		 N 80.358375°
W 29.910279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416912078857422 y=0.106418609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416912078857422 × 217)
    floor (0.416912078857422 × 131072)
    floor (54645.5)     		tx = 54645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106418609619141 × 217)
    floor (0.106418609619141 × 131072)
    floor (13948.5)     		ty = 13948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54645 / 13948 ti = "17/54645/13948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54645/13948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54645 ÷ 217
    54645 ÷ 131072     		x = 0.416908264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13948 ÷ 217
    13948 ÷ 131072     		y = 0.106414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416908264160156 × 2 - 1) × π
    -0.166183471679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.52208077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106414794921875 × 2 - 1) × π
    0.78717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47296877759946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52208077} λ = -0.52208077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47296877759946))-π/2
    2×atan(11.8575972180236)-π/2
    2×1.48666129508991-π/2
    2.97332259017982-1.57079632675     		φ = 1.40252626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52208077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.913025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40252626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.358835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54645 KachelY 13948 -0.52208077 1.40252626 -29.913025 80.358835
    Oben rechts KachelX + 1 54646 KachelY 13948 -0.52203284 1.40252626 -29.910279 80.358835
    Unten links KachelX 54645 KachelY + 1 13949 -0.52208077 1.40251823 -29.913025 80.358375
    Unten rechts KachelX + 1 54646 KachelY + 1 13949 -0.52203284 1.40251823 -29.910279 80.358375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40252626-1.40251823) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dl = 51.1591299988894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40252626-1.40251823) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dr = 51.1591299988894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52208077--0.52203284) × cos(1.40252626) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.167477100949376 × 6371000     		do = 51.1411475243293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52208077--0.52203284) × cos(1.40251823) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.167485017527985 × 6371000     		du = 51.1435649468438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40252626)-sin(1.40251823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167477100949376-0.167485017527985)×R²
    abs(-0.52203284--0.52208077)×7.91657860849115e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.91657860849115e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.91657860849115e-06×40589641000000     		ar = 2616.39845120119m²