Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54643 / 85189
↖ ↑ ↗
← S 47.407644°
W 29.918518°		 ← 206.71 m → S 47.407644°
W 29.915771°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
S 47.409503°
W 29.918518°		 ← 206.70 m →
42 720 m²		 S 47.409503°
W 29.915771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416896820068359 y=0.649944305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416896820068359 × 217)
    floor (0.416896820068359 × 131072)
    floor (54643.5)     		tx = 54643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649944305419922 × 217)
    floor (0.649944305419922 × 131072)
    floor (85189.5)     		ty = 85189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54643 / 85189 ti = "17/54643/85189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54643/85189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54643 ÷ 217
    54643 ÷ 131072     		x = 0.416893005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85189 ÷ 217
    85189 ÷ 131072     		y = 0.649940490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416893005371094 × 2 - 1) × π
    -0.166213989257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.52217665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649940490722656 × 2 - 1) × π
    -0.299880981445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.942103888232964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52217665} λ = -0.52217665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942103888232964))-π/2
    2×atan(0.389806861973191)-π/2
    2×0.371688422904122-π/2
    0.743376845808245-1.57079632675     		φ = -0.82741948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52217665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.918518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82741948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.407644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54643 KachelY 85189 -0.52217665 -0.82741948 -29.918518 -47.407644
    Oben rechts KachelX + 1 54644 KachelY 85189 -0.52212871 -0.82741948 -29.915771 -47.407644
    Unten links KachelX 54643 KachelY + 1 85190 -0.52217665 -0.82745192 -29.918518 -47.409503
    Unten rechts KachelX + 1 54644 KachelY + 1 85190 -0.52212871 -0.82745192 -29.915771 -47.409503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82741948--0.82745192) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82741948--0.82745192) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52217665--0.52212871) × cos(-0.82741948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676777757593859 × 6371000     		do = 206.70534742851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52217665--0.52212871) × cos(-0.82745192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676753875318967 × 6371000     		du = 206.698053167028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82741948)-sin(-0.82745192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676777757593859-0.676753875318967)×R²
    abs(-0.52212871--0.52217665)×2.38822748918066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38822748918066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38822748918066e-05×40589641000000     		ar = 42720.1235212937m²