Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54640 / 85187
↖ ↑ ↗
← S 47.403926°
W 29.926758°		 ← 206.72 m → S 47.403926°
W 29.924011°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
S 47.405785°
W 29.926758°		 ← 206.71 m →
42 736 m²		 S 47.405785°
W 29.924011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416873931884766 y=0.649929046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416873931884766 × 217)
    floor (0.416873931884766 × 131072)
    floor (54640.5)     		tx = 54640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649929046630859 × 217)
    floor (0.649929046630859 × 131072)
    floor (85187.5)     		ty = 85187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54640 / 85187 ti = "17/54640/85187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54640/85187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54640 ÷ 217
    54640 ÷ 131072     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85187 ÷ 217
    85187 ÷ 131072     		y = 0.649925231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649925231933594 × 2 - 1) × π
    -0.299850463867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.942008014433724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942008014433724))-π/2
    2×atan(0.389844236029586)-π/2
    2×0.37172086667644-π/2
    0.743441733352881-1.57079632675     		φ = -0.82735459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82735459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.403926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54640 KachelY 85187 -0.52232046 -0.82735459 -29.926758 -47.403926
    Oben rechts KachelX + 1 54641 KachelY 85187 -0.52227252 -0.82735459 -29.924011 -47.403926
    Unten links KachelX 54640 KachelY + 1 85188 -0.52232046 -0.82738704 -29.926758 -47.405785
    Unten rechts KachelX + 1 54641 KachelY + 1 85188 -0.52227252 -0.82738704 -29.924011 -47.405785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82735459--0.82738704) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82735459--0.82738704) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52227252) × cos(-0.82735459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676825527368424 × 6371000     		do = 206.719937547256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52227252) × cos(-0.82738704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676801639156542 × 6371000     		du = 206.712641472464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82735459)-sin(-0.82738704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676825527368424-0.676801639156542)×R²
    abs(-0.52227252--0.52232046)×2.38882118823724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38882118823724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38882118823724e-05×40589641000000     		ar = 42736.3086449287m²