Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54640 / 85186
↖ ↑ ↗
← S 47.402067°
W 29.926758°		 ← 206.73 m → S 47.402067°
W 29.924011°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
S 47.403926°
W 29.926758°		 ← 206.72 m →
42 725 m²		 S 47.403926°
W 29.924011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416873931884766 y=0.649921417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416873931884766 × 217)
    floor (0.416873931884766 × 131072)
    floor (54640.5)     		tx = 54640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649921417236328 × 217)
    floor (0.649921417236328 × 131072)
    floor (85186.5)     		ty = 85186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54640 / 85186 ti = "17/54640/85186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54640/85186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54640 ÷ 217
    54640 ÷ 131072     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85186 ÷ 217
    85186 ÷ 131072     		y = 0.649917602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649917602539062 × 2 - 1) × π
    -0.299835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.941960077534103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941960077534103))-π/2
    2×atan(0.389862924401523)-π/2
    2×0.371737089421296-π/2
    0.743474178842591-1.57079632675     		φ = -0.82732215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82732215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.402067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54640 KachelY 85186 -0.52232046 -0.82732215 -29.926758 -47.402067
    Oben rechts KachelX + 1 54641 KachelY 85186 -0.52227252 -0.82732215 -29.924011 -47.402067
    Unten links KachelX 54640 KachelY + 1 85187 -0.52232046 -0.82735459 -29.926758 -47.403926
    Unten rechts KachelX + 1 54641 KachelY + 1 85187 -0.52227252 -0.82735459 -29.924011 -47.403926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82732215--0.82735459) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82732215--0.82735459) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52227252) × cos(-0.82732215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676849407506392 × 6371000     		do = 206.727231156066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52227252) × cos(-0.82735459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676825527368424 × 6371000     		du = 206.719937547256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82732215)-sin(-0.82735459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676849407506392-0.676825527368424)×R²
    abs(-0.52227252--0.52232046)×2.38801379683906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38801379683906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38801379683906e-05×40589641000000     		ar = 42724.646413372m²