Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54640 / 12824
↖ ↑ ↗
← N 80.862365°
W 29.926758°		 ← 48.50 m → N 80.862365°
W 29.924011°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.861929°
W 29.926758°		 ← 48.51 m →
2 352 m²		 N 80.861929°
W 29.924011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416873931884766 y=0.0978431701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416873931884766 × 217)
    floor (0.416873931884766 × 131072)
    floor (54640.5)     		tx = 54640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978431701660156 × 217)
    floor (0.0978431701660156 × 131072)
    floor (12824.5)     		ty = 12824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54640 / 12824 ti = "17/54640/12824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54640/12824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54640 ÷ 217
    54640 ÷ 131072     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12824 ÷ 217
    12824 ÷ 131072     		y = 0.09783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09783935546875 × 2 - 1) × π
    0.8043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5268498527724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5268498527724))-π/2
    2×atan(12.5140229656667)-π/2
    2×1.49105541804031-π/2
    2.98211083608062-1.57079632675     		φ = 1.41131451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41131451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.862365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54640 KachelY 12824 -0.52232046 1.41131451 -29.926758 80.862365
    Oben rechts KachelX + 1 54641 KachelY 12824 -0.52227252 1.41131451 -29.924011 80.862365
    Unten links KachelX 54640 KachelY + 1 12825 -0.52232046 1.41130690 -29.926758 80.861929
    Unten rechts KachelX + 1 54641 KachelY + 1 12825 -0.52227252 1.41130690 -29.924011 80.861929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41131451-1.41130690) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41131451-1.41130690) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52227252) × cos(1.41131451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158806620649704 × 6371000     		do = 48.5036296288033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52227252) × cos(1.41130690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158814134071974 × 6371000     		du = 48.5059244213602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41131451)-sin(1.41130690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158806620649704-0.158814134071974)×R²
    abs(-0.52227252--0.52232046)×7.51342227059415e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51342227059415e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51342227059415e-06×40589641000000     		ar = 2351.67214099662m²