Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54637 / 13713
↖ ↑ ↗
← N 80.466335°
W 29.934998°		 ← 50.59 m → N 80.466335°
W 29.932251°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.465880°
W 29.934998°		 ← 50.59 m →
2 559 m²		 N 80.465880°
W 29.932251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416851043701172 y=0.104625701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416851043701172 × 217)
    floor (0.416851043701172 × 131072)
    floor (54637.5)     		tx = 54637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104625701904297 × 217)
    floor (0.104625701904297 × 131072)
    floor (13713.5)     		ty = 13713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54637 / 13713 ti = "17/54637/13713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54637/13713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54637 ÷ 217
    54637 ÷ 131072     		x = 0.416847229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13713 ÷ 217
    13713 ÷ 131072     		y = 0.104621887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416847229003906 × 2 - 1) × π
    -0.166305541992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52246427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104621887207031 × 2 - 1) × π
    0.790756225585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.48423394901017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52246427} λ = -0.52246427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48423394901017))-π/2
    2×atan(11.9919303052153)-π/2
    2×1.48759940464703-π/2
    2.97519880929405-1.57079632675     		φ = 1.40440248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52246427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.934998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40440248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.466335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54637 KachelY 13713 -0.52246427 1.40440248 -29.934998 80.466335
    Oben rechts KachelX + 1 54638 KachelY 13713 -0.52241633 1.40440248 -29.932251 80.466335
    Unten links KachelX 54637 KachelY + 1 13714 -0.52246427 1.40439454 -29.934998 80.465880
    Unten rechts KachelX + 1 54638 KachelY + 1 13714 -0.52241633 1.40439454 -29.932251 80.465880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40440248-1.40439454) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40440248-1.40439454) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52246427--0.52241633) × cos(1.40440248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16562708705289 × 6371000     		do = 50.58677562714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52246427--0.52241633) × cos(1.40439454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165634917383998 × 6371000     		du = 50.5891672118133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40440248)-sin(1.40439454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16562708705289-0.165634917383998)×R²
    abs(-0.52241633--0.52246427)×7.83033110868248e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83033110868248e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83033110868248e-06×40589641000000     		ar = 2559.02996944659m²