Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54636 / 12819
↖ ↑ ↗
← N 80.864546°
W 29.937744°		 ← 48.49 m → N 80.864546°
W 29.934998°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.864110°
W 29.937744°		 ← 48.49 m →
2 351 m²		 N 80.864110°
W 29.934998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416843414306641 y=0.0978050231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416843414306641 × 217)
    floor (0.416843414306641 × 131072)
    floor (54636.5)     		tx = 54636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978050231933594 × 217)
    floor (0.0978050231933594 × 131072)
    floor (12819.5)     		ty = 12819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54636 / 12819 ti = "17/54636/12819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54636/12819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54636 ÷ 217
    54636 ÷ 131072     		x = 0.416839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12819 ÷ 217
    12819 ÷ 131072     		y = 0.0978012084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.16632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52251221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0978012084960938 × 2 - 1) × π
    0.804397583007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.5270895372705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52251221} λ = -0.52251221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5270895372705))-π/2
    2×atan(12.5170227424661)-π/2
    2×1.49107444753129-π/2
    2.98214889506258-1.57079632675     		φ = 1.41135257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52251221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.937744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41135257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.864546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54636 KachelY 12819 -0.52251221 1.41135257 -29.937744 80.864546
    Oben rechts KachelX + 1 54637 KachelY 12819 -0.52246427 1.41135257 -29.934998 80.864546
    Unten links KachelX 54636 KachelY + 1 12820 -0.52251221 1.41134496 -29.937744 80.864110
    Unten rechts KachelX + 1 54637 KachelY + 1 12820 -0.52246427 1.41134496 -29.934998 80.864110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41135257-1.41134496) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41135257-1.41134496) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52251221--0.52246427) × cos(1.41135257) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.158769043527249 × 6371000     		do = 48.4921526084829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52251221--0.52246427) × cos(1.41134496) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.158776556995512 × 6371000     		du = 48.4944474150869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41135257)-sin(1.41134496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158769043527249-0.158776556995512)×R²
    abs(-0.52246427--0.52251221)×7.51346826241561e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.51346826241561e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.51346826241561e-06×40589641000000     		ar = 2351.11569745778m²