Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54635 / 13714
↖ ↑ ↗
← N 80.465880°
W 29.940491°		 ← 50.58 m → N 80.465880°
W 29.937744°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.465425°
W 29.940491°		 ← 50.58 m →
2 559 m²		 N 80.465425°
W 29.937744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416835784912109 y=0.104633331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416835784912109 × 217)
    floor (0.416835784912109 × 131072)
    floor (54635.5)     		tx = 54635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104633331298828 × 217)
    floor (0.104633331298828 × 131072)
    floor (13714.5)     		ty = 13714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54635 / 13714 ti = "17/54635/13714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54635/13714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54635 ÷ 217
    54635 ÷ 131072     		x = 0.416831970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13714 ÷ 217
    13714 ÷ 131072     		y = 0.104629516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416831970214844 × 2 - 1) × π
    -0.166336059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52256014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104629516601562 × 2 - 1) × π
    0.790740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48418601211055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52256014} λ = -0.52256014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48418601211055))-π/2
    2×atan(11.9913554630342)-π/2
    2×1.48759543472873-π/2
    2.97519086945745-1.57079632675     		φ = 1.40439454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52256014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.940491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40439454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.465880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54635 KachelY 13714 -0.52256014 1.40439454 -29.940491 80.465880
    Oben rechts KachelX + 1 54636 KachelY 13714 -0.52251221 1.40439454 -29.937744 80.465880
    Unten links KachelX 54635 KachelY + 1 13715 -0.52256014 1.40438660 -29.940491 80.465425
    Unten rechts KachelX + 1 54636 KachelY + 1 13715 -0.52251221 1.40438660 -29.937744 80.465425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40439454-1.40438660) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40439454-1.40438660) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52256014--0.52251221) × cos(1.40439454) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.165634917383998 × 6371000     		do = 50.5786146111738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52256014--0.52251221) × cos(1.40438660) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.165642747704665 × 6371000     		du = 50.5810056937881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40439454)-sin(1.40438660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165634917383998-0.165642747704665)×R²
    abs(-0.52251221--0.52256014)×7.83032066647982e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.83032066647982e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.83032066647982e-06×40589641000000     		ar = 2558.61712556816m²