Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54629 / 85213
↖ ↑ ↗
← S 47.452237°
W 29.956970°		 ← 206.49 m → S 47.452237°
W 29.954224°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
S 47.454094°
W 29.956970°		 ← 206.48 m →
42 649 m²		 S 47.454094°
W 29.954224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416790008544922 y=0.650127410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416790008544922 × 217)
    floor (0.416790008544922 × 131072)
    floor (54629.5)     		tx = 54629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650127410888672 × 217)
    floor (0.650127410888672 × 131072)
    floor (85213.5)     		ty = 85213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54629 / 85213 ti = "17/54629/85213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54629/85213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54629 ÷ 217
    54629 ÷ 131072     		x = 0.416786193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85213 ÷ 217
    85213 ÷ 131072     		y = 0.650123596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416786193847656 × 2 - 1) × π
    -0.166427612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.52284776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650123596191406 × 2 - 1) × π
    -0.300247192382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.943254373823845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52284776} λ = -0.52284776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943254373823845))-π/2
    2×atan(0.389358652673872)-π/2
    2×0.371299276236302-π/2
    0.742598552472603-1.57079632675     		φ = -0.82819777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52284776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.956970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82819777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.452237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54629 KachelY 85213 -0.52284776 -0.82819777 -29.956970 -47.452237
    Oben rechts KachelX + 1 54630 KachelY 85213 -0.52279983 -0.82819777 -29.954224 -47.452237
    Unten links KachelX 54629 KachelY + 1 85214 -0.52284776 -0.82823019 -29.956970 -47.454094
    Unten rechts KachelX + 1 54630 KachelY + 1 85214 -0.52279983 -0.82823019 -29.954224 -47.454094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82819777--0.82823019) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dl = 206.547819999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82819777--0.82823019) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dr = 206.547819999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52284776--0.52279983) × cos(-0.82819777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67620458539722 × 6371000     		do = 206.48720489233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52284776--0.52279983) × cos(-0.82823019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.676180700777481 × 6371000     		du = 206.47991143636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82819777)-sin(-0.82823019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67620458539722-0.676180700777481)×R²
    abs(-0.52279983--0.52284776)×2.3884619739456e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3884619739456e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3884619739456e-05×40589641000000     		ar = 42648.7288083917m²