Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54629 / 12837
↖ ↑ ↗
← N 80.856693°
W 29.956970°		 ← 48.52 m → N 80.856693°
W 29.954224°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.856257°
W 29.956970°		 ← 48.53 m →
2 353 m²		 N 80.856257°
W 29.954224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416790008544922 y=0.0979423522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416790008544922 × 217)
    floor (0.416790008544922 × 131072)
    floor (54629.5)     		tx = 54629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0979423522949219 × 217)
    floor (0.0979423522949219 × 131072)
    floor (12837.5)     		ty = 12837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54629 / 12837 ti = "17/54629/12837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54629/12837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54629 ÷ 217
    54629 ÷ 131072     		x = 0.416786193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12837 ÷ 217
    12837 ÷ 131072     		y = 0.0979385375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416786193847656 × 2 - 1) × π
    -0.166427612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.52284776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0979385375976562 × 2 - 1) × π
    0.804122924804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.52622667307734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52284776} λ = -0.52284776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52622667307734))-π/2
    2×atan(12.506226910075)-π/2
    2×1.49100592028374-π/2
    2.98201184056748-1.57079632675     		φ = 1.41121551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52284776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.956970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41121551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.856693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54629 KachelY 12837 -0.52284776 1.41121551 -29.956970 80.856693
    Oben rechts KachelX + 1 54630 KachelY 12837 -0.52279983 1.41121551 -29.954224 80.856693
    Unten links KachelX 54629 KachelY + 1 12838 -0.52284776 1.41120790 -29.956970 80.856257
    Unten rechts KachelX + 1 54630 KachelY + 1 12838 -0.52279983 1.41120790 -29.954224 80.856257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41121551-1.41120790) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41121551-1.41120790) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52284776--0.52279983) × cos(1.41121551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15890436353229 × 6371000     		do = 48.5233590241079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52284776--0.52279983) × cos(1.41120790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158911876834878 × 6371000     		du = 48.525653301438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41121551)-sin(1.41120790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15890436353229-0.158911876834878)×R²
    abs(-0.52279983--0.52284776)×7.51330258760841e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.51330258760841e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.51330258760841e-06×40589641000000     		ar = 2352.6286747009m²