Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54627 / 13725
↖ ↑ ↗
← N 80.460875°
W 29.962463°		 ← 50.62 m → N 80.460875°
W 29.959717°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.460420°
W 29.962463°		 ← 50.62 m →
2 560 m²		 N 80.460420°
W 29.959717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416774749755859 y=0.104717254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416774749755859 × 217)
    floor (0.416774749755859 × 131072)
    floor (54627.5)     		tx = 54627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104717254638672 × 217)
    floor (0.104717254638672 × 131072)
    floor (13725.5)     		ty = 13725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54627 / 13725 ti = "17/54627/13725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54627/13725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54627 ÷ 217
    54627 ÷ 131072     		x = 0.416770935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13725 ÷ 217
    13725 ÷ 131072     		y = 0.104713439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416770935058594 × 2 - 1) × π
    -0.166458129882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.52294364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104713439941406 × 2 - 1) × π
    0.790573120117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.48365870621473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52294364} λ = -0.52294364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48365870621473))-π/2
    2×atan(11.9850340174139)-π/2
    2×1.48755175323854-π/2
    2.97510350647708-1.57079632675     		φ = 1.40430718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52294364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.962463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40430718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.460875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54627 KachelY 13725 -0.52294364 1.40430718 -29.962463 80.460875
    Oben rechts KachelX + 1 54628 KachelY 13725 -0.52289570 1.40430718 -29.959717 80.460875
    Unten links KachelX 54627 KachelY + 1 13726 -0.52294364 1.40429924 -29.962463 80.460420
    Unten rechts KachelX + 1 54628 KachelY + 1 13726 -0.52289570 1.40429924 -29.959717 80.460420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40430718-1.40429924) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40430718-1.40429924) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52294364--0.52289570) × cos(1.40430718) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.165721070060353 × 6371000     		do = 50.6154804568591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52294364--0.52289570) × cos(1.40429924) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.165728900266096 × 6371000     		du = 50.6178720032426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40430718)-sin(1.40429924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165721070060353-0.165728900266096)×R²
    abs(-0.52289570--0.52294364)×7.8302057431312e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.8302057431312e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.8302057431312e-06×40589641000000     		ar = 2560.48202342414m²