Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54626 / 42719
↖ ↑ ↗
← N 52.963529°
W 29.965210°		 ← 183.93 m → N 52.963529°
W 29.962463°		 →
↑
183.93 m
↓
↑
183.93 m
↓
N 52.961875°
W 29.965210°		 ← 183.93 m →
33 830 m²		 N 52.961875°
W 29.962463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416767120361328 y=0.325923919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416767120361328 × 217)
    floor (0.416767120361328 × 131072)
    floor (54626.5)     		tx = 54626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325923919677734 × 217)
    floor (0.325923919677734 × 131072)
    floor (42719.5)     		ty = 42719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54626 / 42719 ti = "17/54626/42719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54626/42719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54626 ÷ 217
    54626 ÷ 131072     		x = 0.416763305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42719 ÷ 217
    42719 ÷ 131072     		y = 0.325920104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416763305664062 × 2 - 1) × π
    -0.166473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52299157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325920104980469 × 2 - 1) × π
    0.348159790039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09377623863082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52299157} λ = -0.52299157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09377623863082))-π/2
    2×atan(2.98552687447511)-π/2
    2×1.2475921493244-π/2
    2.4951842986488-1.57079632675     		φ = 0.92438797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52299157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.965210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92438797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.963529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54626 KachelY 42719 -0.52299157 0.92438797 -29.965210 52.963529
    Oben rechts KachelX + 1 54627 KachelY 42719 -0.52294364 0.92438797 -29.962463 52.963529
    Unten links KachelX 54626 KachelY + 1 42720 -0.52299157 0.92435910 -29.965210 52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 54627 KachelY + 1 42720 -0.52294364 0.92435910 -29.962463 52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92438797-0.92435910) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dl = 183.930769999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92438797-0.92435910) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dr = 183.930769999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52299157--0.52294364) × cos(0.92438797) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.602323259499484 × 6371000     		do = 183.926653236666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52299157--0.52294364) × cos(0.92435910) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 183.933690393844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92438797)-sin(0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602323259499484-0.602346304791586)×R²
    abs(-0.52294364--0.52299157)×2.3045292101842e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3045292101842e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3045292101842e-05×40589641000000     		ar = 33830.4181304974m²