Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54624 / 12832
↖ ↑ ↗
← N 80.858875°
W 29.970703°		 ← 48.52 m → N 80.858875°
W 29.967956°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
N 80.858439°
W 29.970703°		 ← 48.52 m →
2 356 m²		 N 80.858439°
W 29.967956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416751861572266 y=0.0979042053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416751861572266 × 217)
    floor (0.416751861572266 × 131072)
    floor (54624.5)     		tx = 54624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0979042053222656 × 217)
    floor (0.0979042053222656 × 131072)
    floor (12832.5)     		ty = 12832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54624 / 12832 ti = "17/54624/12832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54624/12832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54624 ÷ 217
    54624 ÷ 131072     		x = 0.416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12832 ÷ 217
    12832 ÷ 131072     		y = 0.097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097900390625 × 2 - 1) × π
    0.80419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52646635757544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52308745} λ = -0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52646635757544))-π/2
    2×atan(12.5092248180568)-π/2
    2×1.49102496148657-π/2
    2.98204992297313-1.57079632675     		φ = 1.41125360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41125360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.858875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54624 KachelY 12832 -0.52308745 1.41125360 -29.970703 80.858875
    Oben rechts KachelX + 1 54625 KachelY 12832 -0.52303951 1.41125360 -29.967956 80.858875
    Unten links KachelX 54624 KachelY + 1 12833 -0.52308745 1.41124598 -29.970703 80.858439
    Unten rechts KachelX + 1 54625 KachelY + 1 12833 -0.52303951 1.41124598 -29.967956 80.858439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41125360-1.41124598) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41125360-1.41124598) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52308745--0.52303951) × cos(1.41125360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158866757389322 × 6371000     		do = 48.5219969370024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52308745--0.52303951) × cos(1.41124598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158874280610955 × 6371000     		du = 48.5242947225367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41125360)-sin(1.41124598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158866757389322-0.158874280610955)×R²
    abs(-0.52303951--0.52308745)×7.52322163241614e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52322163241614e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52322163241614e-06×40589641000000     		ar = 2355.65413128146m²