Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54623 / 14108
↖ ↑ ↗
← N 80.284958°
W 29.973450°		 ← 51.54 m → N 80.284958°
W 29.970703°		 →
↑
51.54 m
↓
↑
51.54 m
↓
N 80.284495°
W 29.973450°		 ← 51.54 m →
2 657 m²		 N 80.284495°
W 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416744232177734 y=0.107639312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416744232177734 × 217)
    floor (0.416744232177734 × 131072)
    floor (54623.5)     		tx = 54623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107639312744141 × 217)
    floor (0.107639312744141 × 131072)
    floor (14108.5)     		ty = 14108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54623 / 14108 ti = "17/54623/14108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54623/14108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54623 ÷ 217
    54623 ÷ 131072     		x = 0.416740417480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14108 ÷ 217
    14108 ÷ 131072     		y = 0.107635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416740417480469 × 2 - 1) × π
    -0.166519165039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52313539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107635498046875 × 2 - 1) × π
    0.78472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46529887366025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52313539} λ = -0.52313539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46529887366025))-π/2
    2×atan(11.76699847239)-π/2
    2×1.48601659423746-π/2
    2.97203318847492-1.57079632675     		φ = 1.40123686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52313539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.973450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40123686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.284958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54623 KachelY 14108 -0.52313539 1.40123686 -29.973450 80.284958
    Oben rechts KachelX + 1 54624 KachelY 14108 -0.52308745 1.40123686 -29.970703 80.284958
    Unten links KachelX 54623 KachelY + 1 14109 -0.52313539 1.40122877 -29.973450 80.284495
    Unten rechts KachelX + 1 54624 KachelY + 1 14109 -0.52308745 1.40122877 -29.970703 80.284495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40123686-1.40122877) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dl = 51.5413900008102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40123686-1.40122877) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dr = 51.5413900008102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52313539--0.52308745) × cos(1.40123686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168748149848205 × 6371000     		do = 51.540028540985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52313539--0.52308745) × cos(1.40122877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168756123825625 × 6371000     		du = 51.5424639989392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40123686)-sin(1.40122877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168748149848205-0.168756123825625)×R²
    abs(-0.52308745--0.52313539)×7.97397741977846e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.97397741977846e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.97397741977846e-06×40589641000000     		ar = 2656.50747527388m²