Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54621 / 15133
↖ ↑ ↗
← N 79.798205°
W 29.978943°		 ← 54.10 m → N 79.798205°
W 29.976196°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
N 79.797718°
W 29.978943°		 ← 54.10 m →
2 926 m²		 N 79.797718°
W 29.976196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416728973388672 y=0.115459442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416728973388672 × 217)
    floor (0.416728973388672 × 131072)
    floor (54621.5)     		tx = 54621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115459442138672 × 217)
    floor (0.115459442138672 × 131072)
    floor (15133.5)     		ty = 15133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54621 / 15133 ti = "17/54621/15133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54621/15133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54621 ÷ 217
    54621 ÷ 131072     		x = 0.416725158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15133 ÷ 217
    15133 ÷ 131072     		y = 0.115455627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416725158691406 × 2 - 1) × π
    -0.166549682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52323126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115455627441406 × 2 - 1) × π
    0.769088745117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.41616355154969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52323126} λ = -0.52323126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41616355154969))-π/2
    2×atan(11.2027978097793)-π/2
    2×1.48176886624655-π/2
    2.9635377324931-1.57079632675     		φ = 1.39274141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52323126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.978943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39274141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.798205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54621 KachelY 15133 -0.52323126 1.39274141 -29.978943 79.798205
    Oben rechts KachelX + 1 54622 KachelY 15133 -0.52318332 1.39274141 -29.976196 79.798205
    Unten links KachelX 54621 KachelY + 1 15134 -0.52323126 1.39273292 -29.978943 79.797718
    Unten rechts KachelX + 1 54622 KachelY + 1 15134 -0.52318332 1.39273292 -29.976196 79.797718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39274141-1.39273292) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dl = 54.0897899994688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39274141-1.39273292) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dr = 54.0897899994688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52323126--0.52318332) × cos(1.39274141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177115578123664 × 6371000     		do = 54.0956565139126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52323126--0.52318332) × cos(1.39273292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177123933890881 × 6371000     		du = 54.0982085802979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39274141)-sin(1.39273292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177115578123664-0.177123933890881)×R²
    abs(-0.52318332--0.52323126)×8.35576721641695e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.35576721641695e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.35576721641695e-06×40589641000000     		ar = 2926.09172105657m²