Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54620 / 15134
↖ ↑ ↗
← N 79.797718°
W 29.981690°		 ← 54.10 m → N 79.797718°
W 29.978943°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
N 79.797231°
W 29.981690°		 ← 54.10 m →
2 930 m²		 N 79.797231°
W 29.978943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416721343994141 y=0.115467071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416721343994141 × 217)
    floor (0.416721343994141 × 131072)
    floor (54620.5)     		tx = 54620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115467071533203 × 217)
    floor (0.115467071533203 × 131072)
    floor (15134.5)     		ty = 15134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54620 / 15134 ti = "17/54620/15134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54620/15134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54620 ÷ 217
    54620 ÷ 131072     		x = 0.416717529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15134 ÷ 217
    15134 ÷ 131072     		y = 0.115463256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.16656494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52327920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115463256835938 × 2 - 1) × π
    0.769073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41611561465007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52327920} λ = -0.52327920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41611561465007))-π/2
    2×atan(11.2022607952567)-π/2
    2×1.48176462096046-π/2
    2.96352924192092-1.57079632675     		φ = 1.39273292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52327920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.981690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39273292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.797718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54620 KachelY 15134 -0.52327920 1.39273292 -29.981690 79.797718
    Oben rechts KachelX + 1 54621 KachelY 15134 -0.52323126 1.39273292 -29.978943 79.797718
    Unten links KachelX 54620 KachelY + 1 15135 -0.52327920 1.39272442 -29.981690 79.797231
    Unten rechts KachelX + 1 54621 KachelY + 1 15135 -0.52323126 1.39272442 -29.978943 79.797231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39273292-1.39272442) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39273292-1.39272442) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52327920--0.52323126) × cos(1.39273292) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177123933890881 × 6371000     		do = 54.0982085804232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52327920--0.52323126) × cos(1.39272442) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177132299487201 × 6371000     		du = 54.1007636488698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39273292)-sin(1.39272442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177123933890881-0.177132299487201)×R²
    abs(-0.52323126--0.52327920)×8.36559631994804e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.36559631994804e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.36559631994804e-06×40589641000000     		ar = 2929.67652143929m²