Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54619 / 15135
↖ ↑ ↗
← N 79.797231°
W 29.984436°		 ← 54.09 m → N 79.797231°
W 29.981690°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
N 79.796745°
W 29.984436°		 ← 54.09 m →
2 926 m²		 N 79.796745°
W 29.981690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416713714599609 y=0.115474700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416713714599609 × 217)
    floor (0.416713714599609 × 131072)
    floor (54619.5)     		tx = 54619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115474700927734 × 217)
    floor (0.115474700927734 × 131072)
    floor (15135.5)     		ty = 15135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54619 / 15135 ti = "17/54619/15135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54619/15135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54619 ÷ 217
    54619 ÷ 131072     		x = 0.416709899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15135 ÷ 217
    15135 ÷ 131072     		y = 0.115470886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416709899902344 × 2 - 1) × π
    -0.166580200195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52332713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115470886230469 × 2 - 1) × π
    0.769058227539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.41606767775045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52332713} λ = -0.52332713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41606767775045))-π/2
    2×atan(11.2017238064763)-π/2
    2×1.48176037547408-π/2
    2.96352075094815-1.57079632675     		φ = 1.39272442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52332713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.984436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39272442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.797231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54619 KachelY 15135 -0.52332713 1.39272442 -29.984436 79.797231
    Oben rechts KachelX + 1 54620 KachelY 15135 -0.52327920 1.39272442 -29.981690 79.797231
    Unten links KachelX 54619 KachelY + 1 15136 -0.52332713 1.39271593 -29.984436 79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 54620 KachelY + 1 15136 -0.52327920 1.39271593 -29.981690 79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39272442-1.39271593) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dl = 54.0897899994688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39272442-1.39271593) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dr = 54.0897899994688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52332713--0.52327920) × cos(1.39272442) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.177132299487201 × 6371000     		do = 54.0894785498874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52332713--0.52327920) × cos(1.39271593) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 54.0920300761249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39272442)-sin(1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177132299487201-0.177140655228867)×R²
    abs(-0.52327920--0.52332713)×8.35574166652142e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.35574166652142e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.35574166652142e-06×40589641000000     		ar = 2925.7575415747m²