Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54614 / 42770
↖ ↑ ↗
← N 52.879076°
W 29.998169°		 ← 184.32 m → N 52.879076°
W 29.995422°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 52.877419°
W 29.998169°		 ← 184.33 m →
33 974 m²		 N 52.877419°
W 29.995422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416675567626953 y=0.326313018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416675567626953 × 217)
    floor (0.416675567626953 × 131072)
    floor (54614.5)     		tx = 54614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326313018798828 × 217)
    floor (0.326313018798828 × 131072)
    floor (42770.5)     		ty = 42770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54614 / 42770 ti = "17/54614/42770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54614/42770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54614 ÷ 217
    54614 ÷ 131072     		x = 0.416671752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42770 ÷ 217
    42770 ÷ 131072     		y = 0.326309204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416671752929688 × 2 - 1) × π
    -0.166656494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52356682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326309204101562 × 2 - 1) × π
    0.347381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0913314567502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52356682} λ = -0.52356682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0913314567502))-π/2
    2×atan(2.97823682738683)-π/2
    2×1.24685515619058-π/2
    2.49371031238116-1.57079632675     		φ = 0.92291399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52356682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.998169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92291399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.879076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54614 KachelY 42770 -0.52356682 0.92291399 -29.998169 52.879076
    Oben rechts KachelX + 1 54615 KachelY 42770 -0.52351888 0.92291399 -29.995422 52.879076
    Unten links KachelX 54614 KachelY + 1 42771 -0.52356682 0.92288506 -29.998169 52.877419
    Unten rechts KachelX + 1 54615 KachelY + 1 42771 -0.52351888 0.92288506 -29.995422 52.877419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92291399-0.92288506) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dl = 184.313029999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92291399-0.92288506) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dr = 184.313029999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52356682--0.52351888) × cos(0.92291399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603499212649756 × 6371000     		do = 184.324193612848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52356682--0.52351888) × cos(0.92288506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603522280125966 × 6371000     		du = 184.33123901384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92291399)-sin(0.92288506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603499212649756-0.603522280125966)×R²
    abs(-0.52351888--0.52356682)×2.30674762105032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30674762105032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30674762105032e-05×40589641000000     		ar = 33973.999908953m²