Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54605 / 14033
↖ ↑ ↗
← N 80.319658°
W 30.022888°		 ← 51.36 m → N 80.319658°
W 30.020141°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.319196°
W 30.022888°		 ← 51.36 m →
2 637 m²		 N 80.319196°
W 30.020141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416606903076172 y=0.107067108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416606903076172 × 217)
    floor (0.416606903076172 × 131072)
    floor (54605.5)     		tx = 54605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107067108154297 × 217)
    floor (0.107067108154297 × 131072)
    floor (14033.5)     		ty = 14033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54605 / 14033 ti = "17/54605/14033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54605/14033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54605 ÷ 217
    54605 ÷ 131072     		x = 0.416603088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14033 ÷ 217
    14033 ÷ 131072     		y = 0.107063293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416603088378906 × 2 - 1) × π
    -0.166793823242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52399825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107063293457031 × 2 - 1) × π
    0.785873413085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.46889414113175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52399825} λ = -0.52399825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46889414113175))-π/2
    2×atan(11.8093801202631)-π/2
    2×1.48631940472999-π/2
    2.97263880945999-1.57079632675     		φ = 1.40184248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52399825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.022888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40184248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.319658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54605 KachelY 14033 -0.52399825 1.40184248 -30.022888 80.319658
    Oben rechts KachelX + 1 54606 KachelY 14033 -0.52395031 1.40184248 -30.020141 80.319658
    Unten links KachelX 54605 KachelY + 1 14034 -0.52399825 1.40183442 -30.022888 80.319196
    Unten rechts KachelX + 1 54606 KachelY + 1 14034 -0.52395031 1.40183442 -30.020141 80.319196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40184248-1.40183442) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dl = 51.3502600005571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40184248-1.40183442) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dr = 51.3502600005571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52399825--0.52395031) × cos(1.40184248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168151184012603 × 6371000     		do = 51.3576998088919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52399825--0.52395031) × cos(1.40183442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16815912924256 × 6371000     		du = 51.360126486631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40184248)-sin(1.40183442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168151184012603-0.16815912924256)×R²
    abs(-0.52395031--0.52399825)×7.9452299568683e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.9452299568683e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.9452299568683e-06×40589641000000     		ar = 2637.29354351073m²