Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54602 / 14025
↖ ↑ ↗
← N 80.323352°
W 30.031128°		 ← 51.34 m → N 80.323352°
W 30.028381°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.322890°
W 30.031128°		 ← 51.34 m →
2 636 m²		 N 80.322890°
W 30.028381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416584014892578 y=0.107006072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416584014892578 × 217)
    floor (0.416584014892578 × 131072)
    floor (54602.5)     		tx = 54602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107006072998047 × 217)
    floor (0.107006072998047 × 131072)
    floor (14025.5)     		ty = 14025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54602 / 14025 ti = "17/54602/14025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54602/14025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54602 ÷ 217
    54602 ÷ 131072     		x = 0.416580200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14025 ÷ 217
    14025 ÷ 131072     		y = 0.107002258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416580200195312 × 2 - 1) × π
    -0.166839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52414206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107002258300781 × 2 - 1) × π
    0.785995483398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.46927763632871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52414206} λ = -0.52414206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46927763632871))-π/2
    2×atan(11.8139098293236)-π/2
    2×1.48635164122154-π/2
    2.97270328244309-1.57079632675     		φ = 1.40190696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52414206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.031128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40190696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.323352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54602 KachelY 14025 -0.52414206 1.40190696 -30.031128 80.323352
    Oben rechts KachelX + 1 54603 KachelY 14025 -0.52409412 1.40190696 -30.028381 80.323352
    Unten links KachelX 54602 KachelY + 1 14026 -0.52414206 1.40189890 -30.031128 80.322890
    Unten rechts KachelX + 1 54603 KachelY + 1 14026 -0.52409412 1.40189890 -30.028381 80.322890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40190696-1.40189890) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dl = 51.3502600005571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40190696-1.40189890) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dr = 51.3502600005571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52414206--0.52409412) × cos(1.40190696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168087621779739 × 6371000     		do = 51.3382862668833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52414206--0.52409412) × cos(1.40189890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168095567097071 × 6371000     		du = 51.3407129713089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40190696)-sin(1.40189890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168087621779739-0.168095567097071)×R²
    abs(-0.52409412--0.52414206)×7.94531733208648e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.94531733208648e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.94531733208648e-06×40589641000000     		ar = 2636.29665386606m²