Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54601 / 14037
↖ ↑ ↗
← N 80.317810°
W 30.033875°		 ← 51.37 m → N 80.317810°
W 30.031128°		 →
↑
51.41 m
↓
↑
51.41 m
↓
N 80.317348°
W 30.033875°		 ← 51.37 m →
2 641 m²		 N 80.317348°
W 30.031128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416576385498047 y=0.107097625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416576385498047 × 217)
    floor (0.416576385498047 × 131072)
    floor (54601.5)     		tx = 54601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107097625732422 × 217)
    floor (0.107097625732422 × 131072)
    floor (14037.5)     		ty = 14037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54601 / 14037 ti = "17/54601/14037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54601/14037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54601 ÷ 217
    54601 ÷ 131072     		x = 0.416572570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14037 ÷ 217
    14037 ÷ 131072     		y = 0.107093811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416572570800781 × 2 - 1) × π
    -0.166854858398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.52419000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107093811035156 × 2 - 1) × π
    0.785812377929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.46870239353327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52419000} λ = -0.52419000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46870239353327))-π/2
    2×atan(11.8071159170702)-π/2
    2×1.48630328191369-π/2
    2.97260656382739-1.57079632675     		φ = 1.40181024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52419000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.033875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40181024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.317810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54601 KachelY 14037 -0.52419000 1.40181024 -30.033875 80.317810
    Oben rechts KachelX + 1 54602 KachelY 14037 -0.52414206 1.40181024 -30.031128 80.317810
    Unten links KachelX 54601 KachelY + 1 14038 -0.52419000 1.40180217 -30.033875 80.317348
    Unten rechts KachelX + 1 54602 KachelY + 1 14038 -0.52414206 1.40180217 -30.031128 80.317348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40181024-1.40180217) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dl = 51.4139700001699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40181024-1.40180217) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dr = 51.4139700001699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52419000--0.52414206) × cos(1.40181024) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.168182964866883 × 6371000     		do = 51.3674064999471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52419000--0.52414206) × cos(1.40180217) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.168190919910684 × 6371000     		du = 51.3698361750868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40181024)-sin(1.40180217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168182964866883-0.168190919910684)×R²
    abs(-0.52414206--0.52419000)×7.95504380121659e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.95504380121659e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.95504380121659e-06×40589641000000     		ar = 2641.06475654373m²