Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 546 / 730
↖ ↑ ↗
← S 60.586967°
E 11.953125°		 ← 19.198 km → S 60.586967°
E 12.304687°		 →
↑
19.147 km
↓
↑
19.147 km
↓
S 60.759159°
E 11.953125°		 ← 19.096 km →
366.604 km²		 S 60.759159°
E 12.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53369140625 y=0.71337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53369140625 × 210)
    floor (0.53369140625 × 1024)
    floor (546.5)     		tx = 546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71337890625 × 210)
    floor (0.71337890625 × 1024)
    floor (730.5)     		ty = 730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 546 / 730 ti = "10/546/730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/546/730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 546 ÷ 210
    546 ÷ 1024     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 730 ÷ 210
    730 ÷ 1024     		y = 0.712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.712890625 × 2 - 1) × π
    -0.42578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.33763124699805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.33763124699805))-π/2
    2×atan(0.262466651481018)-π/2
    2×0.25667713144649-π/2
    0.51335426289298-1.57079632675     		φ = -1.05744206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05744206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.586967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 546 KachelY 730 0.20862139 -1.05744206 11.953125 -60.586967
    Oben rechts KachelX + 1 547 KachelY 730 0.21475731 -1.05744206 12.304687 -60.586967
    Unten links KachelX 546 KachelY + 1 731 0.20862139 -1.06044738 11.953125 -60.759159
    Unten rechts KachelX + 1 547 KachelY + 1 731 0.21475731 -1.06044738 12.304687 -60.759159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05744206--1.06044738) × R
    0.00300531999999998 × 6371000     		dl = 19146.8937199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05744206--1.06044738) × R
    0.00300531999999998 × 6371000     		dr = 19146.8937199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.21475731) × cos(-1.05744206) × R
    0.00613592000000002 × 0.491101913051552 × 6371000     		do = 19198.1296226606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.21475731) × cos(-1.06044738) × R
    0.00613592000000002 × 0.48848175855426 × 6371000     		du = 19095.7026837024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05744206)-sin(-1.06044738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491101913051552-0.48848175855426)×R²
    abs(0.21475731-0.20862139)×0.00262015449729208×R²
    0.00613592000000002×0.00262015449729208×6371000²
    0.00613592000000002×0.00262015449729208×40589641000000     		ar = 366604244.579976m²