Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54599 / 42809
↖ ↑ ↗
← N 52.814383°
W 30.039368°		 ← 184.60 m → N 52.814383°
W 30.036621°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 52.812723°
W 30.039368°		 ← 184.61 m →
34 072 m²		 N 52.812723°
W 30.036621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416561126708984 y=0.326610565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416561126708984 × 217)
    floor (0.416561126708984 × 131072)
    floor (54599.5)     		tx = 54599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326610565185547 × 217)
    floor (0.326610565185547 × 131072)
    floor (42809.5)     		ty = 42809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54599 / 42809 ti = "17/54599/42809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54599/42809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54599 ÷ 217
    54599 ÷ 131072     		x = 0.416557312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42809 ÷ 217
    42809 ÷ 131072     		y = 0.326606750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416557312011719 × 2 - 1) × π
    -0.166885375976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.52428587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326606750488281 × 2 - 1) × π
    0.346786499023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.08946191766502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52428587} λ = -0.52428587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08946191766502))-π/2
    2×atan(2.97267409872265)-π/2
    2×1.24629060293825-π/2
    2.4925812058765-1.57079632675     		φ = 0.92178488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52428587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.039368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92178488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.814383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54599 KachelY 42809 -0.52428587 0.92178488 -30.039368 52.814383
    Oben rechts KachelX + 1 54600 KachelY 42809 -0.52423793 0.92178488 -30.036621 52.814383
    Unten links KachelX 54599 KachelY + 1 42810 -0.52428587 0.92175591 -30.039368 52.812723
    Unten rechts KachelX + 1 54600 KachelY + 1 42810 -0.52423793 0.92175591 -30.036621 52.812723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92178488-0.92175591) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92178488-0.92175591) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52428587--0.52423793) × cos(0.92178488) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.604399138968247 × 6371000     		do = 184.599054275046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52428587--0.52423793) × cos(0.92175591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.604422218582554 × 6371000     		du = 184.606103383325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92178488)-sin(0.92175591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604399138968247-0.604422218582554)×R²
    abs(-0.52423793--0.52428587)×2.30796143070311e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30796143070311e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30796143070311e-05×40589641000000     		ar = 34071.7047734267m²