Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54598 / 12736
↖ ↑ ↗
← N 80.900668°
W 30.042114°		 ← 48.30 m → N 80.900668°
W 30.039368°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
N 80.900234°
W 30.042114°		 ← 48.30 m →
2 333 m²		 N 80.900234°
W 30.039368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416553497314453 y=0.0971717834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416553497314453 × 217)
    floor (0.416553497314453 × 131072)
    floor (54598.5)     		tx = 54598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971717834472656 × 217)
    floor (0.0971717834472656 × 131072)
    floor (12736.5)     		ty = 12736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54598 / 12736 ti = "17/54598/12736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54598/12736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54598 ÷ 217
    54598 ÷ 131072     		x = 0.416549682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12736 ÷ 217
    12736 ÷ 131072     		y = 0.09716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416549682617188 × 2 - 1) × π
    -0.166900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52433381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09716796875 × 2 - 1) × π
    0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52433381} λ = -0.52433381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53106829993897))-π/2
    2×atan(12.5669242124965)-π/2
    2×1.49138968011671-π/2
    2.98277936023343-1.57079632675     		φ = 1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52433381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.042114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54598 KachelY 12736 -0.52433381 1.41198303 -30.042114 80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 54599 KachelY 12736 -0.52428587 1.41198303 -30.039368 80.900668
    Unten links KachelX 54598 KachelY + 1 12737 -0.52433381 1.41197545 -30.042114 80.900234
    Unten rechts KachelX + 1 54599 KachelY + 1 12737 -0.52428587 1.41197545 -30.039368 80.900234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41198303-1.41197545) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41198303-1.41197545) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52433381--0.52428587) × cos(1.41198303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 48.3020267343821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52433381--0.52428587) × cos(1.41197545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158154033532895 × 6371000     		du = 48.3043127257376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41198303)-sin(1.41197545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.158154033532895)×R²
    abs(-0.52428587--0.52433381)×7.48460609606427e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48460609606427e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48460609606427e-06×40589641000000     		ar = 2332.66536726246m²