Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54591 / 14018
↖ ↑ ↗
← N 80.326583°
W 30.061341°		 ← 51.32 m → N 80.326583°
W 30.058594°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.326121°
W 30.061341°		 ← 51.32 m →
2 635 m²		 N 80.326121°
W 30.058594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416500091552734 y=0.106952667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416500091552734 × 217)
    floor (0.416500091552734 × 131072)
    floor (54591.5)     		tx = 54591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106952667236328 × 217)
    floor (0.106952667236328 × 131072)
    floor (14018.5)     		ty = 14018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54591 / 14018 ti = "17/54591/14018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54591/14018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54591 ÷ 217
    54591 ÷ 131072     		x = 0.416496276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14018 ÷ 217
    14018 ÷ 131072     		y = 0.106948852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416496276855469 × 2 - 1) × π
    -0.167007446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52466937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106948852539062 × 2 - 1) × π
    0.786102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46961319462605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52466937} λ = -0.52466937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46961319462605))-π/2
    2×atan(11.8178747499847)-π/2
    2×1.48637983815653-π/2
    2.97275967631306-1.57079632675     		φ = 1.40196335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52466937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.061341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40196335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.326583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54591 KachelY 14018 -0.52466937 1.40196335 -30.061341 80.326583
    Oben rechts KachelX + 1 54592 KachelY 14018 -0.52462143 1.40196335 -30.058594 80.326583
    Unten links KachelX 54591 KachelY + 1 14019 -0.52466937 1.40195529 -30.061341 80.326121
    Unten rechts KachelX + 1 54592 KachelY + 1 14019 -0.52462143 1.40195529 -30.058594 80.326121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40196335-1.40195529) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40196335-1.40195529) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52466937--0.52462143) × cos(1.40196335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168032033826142 × 6371000     		do = 51.3213082750208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52466937--0.52462143) × cos(1.40195529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16803997921986 × 6371000     		du = 51.3237350027766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40196335)-sin(1.40195529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168032033826142-0.16803997921986)×R²
    abs(-0.52462143--0.52466937)×7.94539371740122e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.94539371740122e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.94539371740122e-06×40589641000000     		ar = 2635.42482993694m²