Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54586 / 14014
↖ ↑ ↗
← N 80.328429°
W 30.075073°		 ← 51.31 m → N 80.328429°
W 30.072326°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.327967°
W 30.075073°		 ← 51.31 m →
2 635 m²		 N 80.327967°
W 30.072326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416461944580078 y=0.106922149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416461944580078 × 217)
    floor (0.416461944580078 × 131072)
    floor (54586.5)     		tx = 54586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106922149658203 × 217)
    floor (0.106922149658203 × 131072)
    floor (14014.5)     		ty = 14014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54586 / 14014 ti = "17/54586/14014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54586/14014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54586 ÷ 217
    54586 ÷ 131072     		x = 0.416458129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14014 ÷ 217
    14014 ÷ 131072     		y = 0.106918334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416458129882812 × 2 - 1) × π
    -0.167083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52490905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106918334960938 × 2 - 1) × π
    0.786163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46980494222453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52490905} λ = -0.52490905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46980494222453))-π/2
    2×atan(11.8201410163558)-π/2
    2×1.48639594650359-π/2
    2.97279189300718-1.57079632675     		φ = 1.40199557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52490905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.075073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40199557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.328429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54586 KachelY 14014 -0.52490905 1.40199557 -30.075073 80.328429
    Oben rechts KachelX + 1 54587 KachelY 14014 -0.52486111 1.40199557 -30.072326 80.328429
    Unten links KachelX 54586 KachelY + 1 14015 -0.52490905 1.40198751 -30.075073 80.327967
    Unten rechts KachelX + 1 54587 KachelY + 1 14015 -0.52486111 1.40198751 -30.072326 80.327967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40199557-1.40198751) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40199557-1.40198751) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52490905--0.52486111) × cos(1.40199557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168000271857856 × 6371000     		do = 51.3116073523533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52490905--0.52486111) × cos(1.40198751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168008217295208 × 6371000     		du = 51.3140340934359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40199557)-sin(1.40198751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168000271857856-0.168008217295208)×R²
    abs(-0.52486111--0.52490905)×7.94543735110897e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.94543735110897e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.94543735110897e-06×40589641000000     		ar = 2634.92668529479m²