Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54582 / 13707
↖ ↑ ↗
← N 80.469064°
W 30.086060°		 ← 50.57 m → N 80.469064°
W 30.083313°		 →
↑
50.52 m
↓
↑
50.52 m
↓
N 80.468609°
W 30.086060°		 ← 50.57 m →
2 555 m²		 N 80.468609°
W 30.083313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416431427001953 y=0.104579925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416431427001953 × 217)
    floor (0.416431427001953 × 131072)
    floor (54582.5)     		tx = 54582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104579925537109 × 217)
    floor (0.104579925537109 × 131072)
    floor (13707.5)     		ty = 13707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54582 / 13707 ti = "17/54582/13707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54582/13707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54582 ÷ 217
    54582 ÷ 131072     		x = 0.416427612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13707 ÷ 217
    13707 ÷ 131072     		y = 0.104576110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416427612304688 × 2 - 1) × π
    -0.167144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52510080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104576110839844 × 2 - 1) × π
    0.790847778320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.48452157040789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52510080} λ = -0.52510080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48452157040789))-π/2
    2×atan(11.9953799370413)-π/2
    2×1.48762322021601-π/2
    2.97524644043203-1.57079632675     		φ = 1.40445011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52510080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.086060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40445011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.469064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54582 KachelY 13707 -0.52510080 1.40445011 -30.086060 80.469064
    Oben rechts KachelX + 1 54583 KachelY 13707 -0.52505286 1.40445011 -30.083313 80.469064
    Unten links KachelX 54582 KachelY + 1 13708 -0.52510080 1.40444218 -30.086060 80.468609
    Unten rechts KachelX + 1 54583 KachelY + 1 13708 -0.52505286 1.40444218 -30.083313 80.468609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40445011-1.40444218) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dl = 50.5220299999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40445011-1.40444218) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dr = 50.5220299999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52510080--0.52505286) × cos(1.40445011) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.165580114708941 × 6371000     		do = 50.5724290643472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52510080--0.52505286) × cos(1.40444218) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16558793524073 × 6371000     		du = 50.5748176560559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40445011)-sin(1.40444218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165580114708941-0.16558793524073)×R²
    abs(-0.52505286--0.52510080)×7.82053178829956e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.82053178829956e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.82053178829956e-06×40589641000000     		ar = 2555.0821165354m²