Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54576 / 12720
↖ ↑ ↗
← N 80.907615°
W 30.102539°		 ← 48.27 m → N 80.907615°
W 30.099792°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.907182°
W 30.102539°		 ← 48.27 m →
2 328 m²		 N 80.907182°
W 30.099792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416385650634766 y=0.0970497131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416385650634766 × 217)
    floor (0.416385650634766 × 131072)
    floor (54576.5)     		tx = 54576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970497131347656 × 217)
    floor (0.0970497131347656 × 131072)
    floor (12720.5)     		ty = 12720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54576 / 12720 ti = "17/54576/12720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54576/12720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54576 ÷ 217
    54576 ÷ 131072     		x = 0.4163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12720 ÷ 217
    12720 ÷ 131072     		y = 0.0970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970458984375 × 2 - 1) × π
    0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52538842} λ = -0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53183529033289))-π/2
    2×atan(12.5765666199929)-π/2
    2×1.4914503055973-π/2
    2.98290061119459-1.57079632675     		φ = 1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54576 KachelY 12720 -0.52538842 1.41210428 -30.102539 80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 54577 KachelY 12720 -0.52534048 1.41210428 -30.099792 80.907615
    Unten links KachelX 54576 KachelY + 1 12721 -0.52538842 1.41209671 -30.102539 80.907182
    Unten rechts KachelX + 1 54577 KachelY + 1 12721 -0.52534048 1.41209671 -30.099792 80.907182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41210428-1.41209671) × R
    7.57000000017882e-06 × 6371000     		dl = 48.2284700011393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41210428-1.41209671) × R
    7.57000000017882e-06 × 6371000     		dr = 48.2284700011393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52538842--0.52534048) × cos(1.41210428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 48.265459542989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52538842--0.52534048) × cos(1.41209671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15803429849389 × 6371000     		du = 48.2677425628455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41210428)-sin(1.41209671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.15803429849389)×R²
    abs(-0.52534048--0.52538842)×7.47487705682337e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.47487705682337e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.47487705682337e-06×40589641000000     		ar = 2327.82432091399m²